Читать курсовая по математике: "Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

СодержаниеВведение

Теоретическая часть

Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений

Фундаментальные решения

Уравнение с правой частью

Метод спуска

Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора с обыкновенными производными

Фундаментальное решение оператора теплопроводности

Фундаментальное решение оператора Лапласа

Практика и результаты

Заключение

Список использованной литературы Введение В последнее десятилетие завершено создание основ так называемой теперь общей теории дифференциальных операторов в частных производных с постоянными коэффициентами. Общая теория выделялась из классической по мере того, как изучение частных свойств специальных операторов сменялось исследованием общих структурных свойств операторов общего вида. Лучший пример, иллюстрирующий этот процесс, представляет история изучения локальных свойств решений однородных уравнений. Специальные результаты о регулярности решений уравнений Лапласа, теплопроводности и некоторых других послужили основой для выделения классов операторов, обладающих аналогичными свойствами: эллиптических и параболических. Эти классы операторов обладают общим свойством: всякое решение соответствующего однородного уравнения бесконечно дифференцируемо.

Другое направление, определяющее сейчас лицо общей теории, имело отправной точкой классическую задачу о построении фундаментальных решений в целом. В рамках классической теории эта задача была решена лишь для некоторых специальных типов операторов. Далее благодаря привлечению аппарата обобщенных функций был получен следующий общий результат: для любого отличногоот нуля оператора с постоянными коэффициентами существует,обобщенное фундаментальное решение. Более того, оказалось, что неоднородное уравнение, соответствующее такому оператору, разрешимо для любой обобщенной правой части. Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений Пустьлинейное дифференциальное уравнение порядкас коэффициентами . Вводя дифференциальный оператор перепишем это уравнение в виде Определение. Обобщенным решениев областиназывается всякая обобщенная функция , удовлетворяющая этому уравнению в областив обобщенном смысле, т. е. для любойРавенстворавносильно равенству где

Действительно, Ясно, что всякое классическое решение является и обобщенным решением. Обратное утверждение сформулируем в виде следующей леммы.

Лемма. Еслии обобщенное решениеуравненияв областипринадлежит классу , то оно является и классическим решением этого уравнения в области .

Доказательство. Так как , то классические и обобщенные производные функциидо порядкавключительно совпадают в области . Посколькуобобщенное решение уравненияв области , то непрерывная вфункцияобращается в нуль в областив смысле обобщенных функций. По лемме дю Буа-Реймонаво всех точках области , так чтоудовлетворяет уравнениюв областив классическом смысле. Лемма доказана. Фундаментальное решение Пусть дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, : Определение. Фундаментальным решением(функцией влияния) оператораназывается обобщенная функция , удовлетворяющая вуравнению Фундаментальное решениеоператора , вообще говоря, не единственно; она

Похожие работы