Читать курсовая по Отсутствует: "Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

Тогда метод простых итераций примет вид:

(4) Из (4) видно преимущество итерационных методов по сравнению, например, с рассмотренным выше методом Гаусса. В вычислительном процессе участвуют только произведения матрицы на вектор, что позволяет работать только с ненулевыми элементами матрицы, значительно упрощая процесс хранения и обработки матриц. Имеет место следующее достаточное условие сходимости метода простых итераций [ 1 ]. Метод простых итераций (4) сходится к единственному решению СЛАУ (2) (а следовательно и к решению исходной СЛАУ (1)) при любом начальном приближении , если какая-либо норма матрицыэквивалентной системы меньше единицы. . Если используется метод Якоби (выражения (3) для эквивалентной СЛАУ), то достаточным условием сходимости является диагональное преобладание матрицы A, т.е. (для каждой строки матрицы A модули элементов, стоящих на главной диагонали, больше суммы модулей недиагональных элементов). Очевидно, что в этом случае меньше единицы и, следовательно, итерационный процесс (4) сходится. Приведем также необходимое и достаточное условие сходимости метода простых итераций. Для сходимости итерационного процесса необходимо и достаточно, чтобы спектр матрицыэквивалентной системы лежал внутри круга с радиусом, равным единице.

При выполнении достаточного условия сходимости оценка погрешности решения на k - ой итерации дается выражением:

(5) Где x* - точное решение СЛАУ. *

Процесс итераций останавливается при выполнении условия, гдезадаваемая вычислителем точность.Принимая во внимание, что из (5) следует неравенство можно получить априорную оценку необходимого для достижения заданной точности числа итераций. При использовании в качестве начального приближения векторатакая оценка определится неравенством:откуда получаем априорную оценку числа итераций k приСледует подчеркнуть, что это неравенство дает завышенное число итераций , поэтому редко используется на практике.

Замечание. Посколькуявляется только достаточным (не необходимым) условием сходимости метода простых итераций, то итерационный процесс может сходиться и в случае, если оно не выполнено. Тогда критерием окончания итераций может служить неравенство .

2. Постановка и решение задачи

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации (на примере системыс точностью )

Z=0,48

4, 08y - 10, 88z = 2, 38

4,08y-5,11=2,38

,08y=7,49=1,83

,1x-0,04y-0,63z=-0,15

,1x-0,04*1,83-0,63*0,48=-0,15

0,1x-0,07-0,3=-0,15

,1x=0,22

x=2,2

Проверка:

,1*2,2 - 0, 04*1, 83 - 0, 63*0, 48 = -0, 15

, 22 - 0, 07 - 0, 3 = -0, 15

, 22 - 0, 37 = -0, 15

, 15 = -0, 15

алгебраический уравнение гаусс итерация

Рассмотрим систему: ;

;

;

;

; неверно неверно

Похожие работы