Читать курсовая по Отсутствует: "Нахождение корня уравнения методом дихотомии и методом касательных" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

Алгоритм приближенного вычисления корня методом касательных.

Исходные данные:(x) - функция;

f‘(x) - производная заданной функции f(x);

ε - требуемая точность;

x0 - начальное приближение.

Результат: xпр. - приближенный корень уравнения f(x) = 0.

Метод решения:

Рассмотрим случай, когда , т.е.иимеют одинаковые знаки. Тогда возможны два случая построения кривой на отрезке (рис 3).

Проведем касательную к кривой y =f(x) в точке В0(b; f(b)). В курсе алгебры выводится уравнение касательной.

Уравнение касательной в точке В0 имеет вид . В качестве очередного приближения к корню уравнения берем точку пересечения касательной с осью Оx. Полагая y = 0, найдем . Теперь . Применяя метод еще раз для отрезка , получим

.

Получаем рекуррентную формулу вычисления приближений к корню:

Рисунок 3. Геометрическая интерпретация метода касательных для случая .

Обратим внимание, что в этом случае в качестве начального приближения к корню выбираем точку x0 = b. Приближение к коню происходит с правой стороны, поэтому получаем приближенное значение корня с избытком.

Пусть теперь , т.е.иимеют разные знаки. Тогда также возможны два случая построения кривой на отрезке (рис 4).

Рисунок 4. Геометрическая интерпретация метода касательных для случая.

Если снова провести касательную к кривой в точке В0, то она пересечет ось Ох в точке не принадлежащей отрезку . Поэтому проведем касательную в точке . Ее уравнение . Находим x1, полагая y = 0: . Корень . Применяя метод еще раз для отрезка , получим .

Получаем рекуррентную формулу вычисления приближений к корню, аналогичную первому случаю:

В данном случае в качестве начального приближения к корню выбираем точку x0 = a. Приближение к коню происходит с левой стороны, поэтому находим приближенное значение корня с недостатком.

Заметим, что вычислительные формулы метода отличаются друг от друга только выбором начального приближения: в первом случае за x0 принимаем конец b отрезка, во втором - конец a.

Убедитесь сами, что при выборе начального приближения корня можно руководствоваться правилом: за исходную точку следует выбрать тот конец отрезка , в котором знак функции совпадает со знаком второй производной (см. рисунки 8,9).

Условие окончания вычислительного процесса: , где ε - заданная точность. Тогда xпр. = xn+1 с точностью ε. 2. Постановка и решение задачи

Применение метода дихотомии и метода касательных для решения нелинейных уравнений (на примере уравнения (x-sin(x)-0,25=0)

Уравнению x-sin(x)-0,25=0 соответствует эквивалентное уравнение x-0,25=sin(x) Если построить графики функций y1= x-0,25 и y2= sin(x) то абсциссы точек пересечения графиков этих функций дадут искомые корни данного уравнения. Из рисунка 5 видно, что корень уравнения лежит на промежутке [1;2].

Рисунок 5. Графическое отделение корней

Решение задачи методом дихотомии 1. Вычисление значения функции x-sin(x)-0,25=0 на концах отрезка:f(a)=1-sin(1)-0,25= -0,09147090 2. Вычисление значения с. С=(a+b)/2=(1+2)/2=1,5 . Проверка условия f(a)*f(c)0,001 верно

. Выполнение пунктов 2-5, пока не будет опровергнуто условие под пунктом 5

.1. с=(1+1,5)/2=1,25 f(a)*f(c)=(1-sin(1)-0,25)*(1,5-sin(1,5)-0,25)= -0,0914709*0,051010,001 Условие не опровергнуто

Похожие работы