Читать курсовая по математике: "Задача о коммивояжере и ее обобщения" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

2. ЭВРИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Решить задачу коммивояжера можно с помощью алгоритма Крускала. Также нам могут помочь алгоритмы Борувки и Прима, так называемые «жадные алгоритмы» Эти методы ускоряют разработку алгоритма по сравнению с методом полного перебора, однако не всегда дают оптимальное решение. Но немного расскажем о них.

Итак, имеется n городов, которые нужно обойти. Для этого достаточно проложить (n-1) путей между городами. Как соединить города так, чтобы суммарная стоимость путешествия была минимальна?

В общем случае, задачу можно сформулировать так. Пусть дан связный, неориентированный граф с весами на ребрах G(V, E), в котором V — множество вершин (городов), а E — множество их возможных попарных соединений (дороги). Пусть для каждого ребра (u,v) однозначно определено некоторое вещественное число w(u,v) — его вес (длина или стоимость пути). W(u,v) называется весовой функцией. Задача состоит в нахождении такого связного ациклического подграфа T ⊂ G, содержащего все вершины, что суммарный вес его ребер будет минимален.

Так как T связен и не содержит циклов, он является деревом и называется остовным или покрывающим деревом. Остовное дерево T, у которого суммарный вес его ребер w(T) = ∑(u,v)∈T w(u,v) минимален, называется минимальным остовным или минимальным покрывающим деревом.

Так как рассматриваются только деревья, можно считать все ребра положительными (достаточно добавить к весу всех ребер некоторую относительно большую положительную константу). В противном случае, если стоимость соединения между двумя вершинами равна отрицательному числу, можно несколько раз параллельно соединить их для уменьшения суммарного веса остовного подграфа.

Также считаем, что для любой пары ребер их весовые характеристики будут различны. Это гарантирует уникальность построенного минимального остовного дерева. Для примера, если все ребра имеют единичный вес, то любое остовное дерево будет минимальным (с суммарным весом v-1, где v – количество вершин в графе).

Искомый остов строится постепенно. Алгоритм использует некоторый ациклический подграф А исходного графа G, который называется промежуточным остовным лесом. Изначально G состоит из n вершин-компонент, не соединенных друг с другом (n деревьев из одной вершины). На каждом шаге в A добавляется одно новое ребро. Граф A всегда является подграфом некоторого минимального остова. Очередное добавляемое ребро e=(u,v) выбирается так, чтобы не нарушить этого свойства: A ∪ {e} тоже должно быть подграфом минимального. Такое ребро называется безопасным.

По определению A, он должен оставаться подграфом некоторого минимального остова после любого числа итераций. Конечно, главный вопрос состоит в том, как искать безопасное ребро. Понятно, что такое ребро всегда существует, если A еще не является минимальным остовом (любое ребро остова, не входящее в A). Заметим, что так как A не может содержать циклов, то на каждом шаге ребром соединяются различные компоненты связности (изначально все вершины в отдельных компонентах, в конце A – одна компонента). Таким образом анализ графа выполняется (n-1) раз.

Далее приводится общее правило отыскания безопасных ребер. Для этого есть теорема, которая поможет находить безопасные ребра.

Похожие работы