Читать курсовая по математике: "Предел последовательности. Теорема Штольца" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

Переменный член той или другой прогрессии есть варианта.

В связи с определением длины окружности обычно рассматривается периметр правильного вписанного в окружность многоугольника, получаемого из шестиугольника последовательным удвоением числа сторон. Таким образом, эта варианта принимает последовательность значений: Упомянем ещё о десятичном приближении (по недостатку) к , со всё возрастающей точностью. Оно принимает последовательность значений: и также представляет варианту.

Переменную x, пробегающую последовательность (1), часто обозначают через , отождествляя её с переменным («общим») членом этой последовательности.

Иногда варианта xп задаётся тем, что указывает непосредственно выражение для xп; так, в случае арифметической или геометрической прогрессии имеем, соответственно, xп =а+(n-1) d или xп =aqn-1. Пользуясь этим выражением, можно сразу вычислять любое значение варианты по заданному его номеру, не вычисляя предыдущих значений.

Для периметра правильного вписанного многоугольника такое общее выражение возможно лишь, если ввести число π; вообще периметр рm правильного вписанного m-угольника даётся формулой Предел последовательности Определение 1: Числовая последовательность {хп} называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М (т), что для любого элемента этой последовательности имеет место неравенство , при этом число М (т) называют верхней (нижней) гранью.

Определение 2: Числовая последовательность {хп} называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. существуют М, т, что для любого

Обозначим А = max {|M|, |m|}, тогда очевидно, что числовая последовательность будет ограничена, если для любого выполняется равенство |xn|≤А, последнее неравенство есть условие ограниченности числовой последовательности.

Определение 3: числовая последовательность называется бесконечно большой последовательностью, если для любого А>0, можно указать такой номер N, что для всех n>N выполняется ||>A. Определение 4: числовая последовательность {αn} называется бесконечно малой последовательностью, если для любого наперёд заданного ε > 0, можно указать такой номер N(ε), что для любого n > N(ε) будет выполняться неравенство | αn | < ε. Определение 5: числовая последовательность {хп} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {хп – а} является бесконечно малой последовательностью. При этом само а – предел исходной числовой последовательности.

Из этого определения следует, что все бесконечно малые последовательности являются сходящимися и предел этих последовательностей = 0.

В связи с тем, что понятие сходящейся последовательности увязано с понятием бесконечно малой последовательности, то определение сходящейся последовательности можно дать в другой форме:

Определение 6: числовая последовательность {хп} называется сходящейся к числу а, если для любого сколь угодно малого найдётся такой , что для всех n > N выполняется неравенствопри , а – предел последовательности

Т.к. равносильно , а это означает принадлежность интервалу хn є (a – ε; a+ ε) или, что то же самое, принадлежит ε – окрестности точки а. Тогда мы можем

Похожие работы