Читать курсовая по информатике, вычислительной технике, телекоммуникациям: "Нахождение корней уравнения методом Ньютона (ЛИСП-реализация)" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

Нетрудно получить следующее выражение: Xi+1 = Xi - F(Xi) / F'(Xi) Интуитивно ясно, что если функция F(X) достаточно "хорошая", а Xi находится достаточно близко от корня, то Xi+1 будет находиться ещё ближе к искомому корню.

Пример 1.

Требуется найти корень уравнения , с точностью .

Производная функции равна . Возьмем за начальную точку , тогда -9.716215;

5.74015;

3.401863;

-2.277028;

1.085197;

0.766033;

0.739241. Таким образом, корень уравнения равен 0.739241. Пример 2.

Найдем корень уравнения функции методом Ньютона cosx = x3. Эта задача может быть представлена как задача нахождения нуля функции f(x) = cosx − x3. Имеем выражение для производной . Так как для всех x и x3 > 1 для x > 1, очевидно, что решение лежит между 0 и 1. Возьмём в качестве начального приближения значение x0= 0.5, тогда: 1.112141;

0.90967;

0.867263;

0.865477;

0.865474033111;

0.865474033102. Таким образом, корень уравнения функции cosx = x3 равен 0.86547403. Пример 3.

Требуется найти корень уравнения , с точностью .

Производная функции равна . Возьмем за начальную точку , тогда -2.3;

-2.034615;

-2.000579;

-2.0. Таким образом, корень уравнения равен -2. 2. Математические и алгоритмические основы решения задачи 2.1 Описание метода Пусть корень x уравнения отделен на отрезке [a, b], причем и непрерывны и сохраняют определенные знаки при . Если на некотором произвольном шаге n найдено приближенное значение корня , то можно уточнить это значение по методу Ньютона. Положим ,(1) где считаем малой величиной. Применяя формулу Тейлора, получим: . Следовательно, . Внеся эту поправку в формулу (1), найдем следующее (по порядку) приближение корня . (2) Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой касательной, проведенной в некоторой точке кривой. В самом деле, положим для определенности, что при и (рисунок 1).

Выберем, например, , для которого . Проведем касательную к кривой в точке B0 с координатами . Рисунок 1. Геометрически показан метод Ньютона В качестве первого приближения корня x возьмем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ox. Через точку снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой даст второе приближение корня x и т.д.

Формулу для уточнения корня можно получить из прямоугольного треугольника , образованного касательной, проведенной в точке B0, осью абсцисс и перпендикуляром, восстановленным из точки .

Имеем . Так как угол  образован касательной и осью абсцисс, его тангенс численно равен величине производной, вычисленной в точке, соответствующей абсциссе точки касания, т.е. . Тогда или для любого шага n . В качестве начальной точки можно принять либо один из концов отрезка [a, b], либо точку внутри этого интервала. В первом случае рекомендуется выбирать ту границу, где выполняется условие , т.е. функция и ее вторая производная в точке должны быть одного знака.

В качестве простейших условий окончания процедуры уточнения корня рекомендуется выполнение условия

. Как следует из последнего неравенства, требуется при расчете запоминать три значения аргумента . В практических инженерных расчетах часто применяют сравнение аргументов на текущей и

Похожие работы