Читать курсовая по математике: "Корни многочленов от одной переменной" Страница 11

(Назад) (Cкачать работу)

Задача 1.Доказать, что многочленa1+a2x+a3y+a4xy+a5x2+a6y2+a7x4+a8y4+a9x2y2+a10xy3+a11x3yне является произведением двух многочленов, одного от x, другого от y, если не один из его коэффициентов не равен нулю.Решение.Пусть денный многочлен является произведением многочленов P (x) и Q (y).Так как в этом многочлене есть такие коэффициенты, как a10xy3 и a11x3y и есть свободный член a1, следовательно, при произведении должны быть такие коэффициенты как mx3+ny3, а их нет, следовательно данный многочлен не является произведением многочленов P (x) и Q (x). ч. т.д.Задача 2.Многочлен с действительными коэффициентами ax2+bx+c, a>0 имеет чисто мнимый корень. Доказать, что его можно представить в виде (Ax+B) 2+ (Cx+D) 2.Решение.Если x=i - корень многочлена, то его корнем является так же число x=-i, теперь по теореме Виета найдем b и c:и многочлен принимает вид: ax+a, который можно привести к нужному виду:ч. т.д.Задача 3.Докажите, что многочлен x12-x9+x4-x+1 при всех действительных значениях x положителен.Решение.Разберем отдельно случаи при x0, x4-x9=x4 (1-x5) >0, x12>0, следовательно и вся сумма больше нуля.Во втором случае представим многочлен в виде:(x8+1) (x4-x) +1, x8+1>0.Для x4-х рассмотрим два случая: при х>1, x4-х>0, следовательно и все выражение больше нуля; при х

Похожие работы