Читать курсовая по физике: "Расчет напряжений деформаций в изотропном теле по заданному тензору напряжений" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

КУРСОВАЯ работа

Расчет напряжений деформаций в изотропном теле по заданному тензору напряжений

1. Исходные данные

Задан следующий тензор напряжений:

МПа.

Направляющие косинусы площадки, по которой нужно вычислить напряжения, равны:

.

Инвариантом называется величина, независящая от системы координат. В частности, напряженное состояние в любой точке является инвариантом, несмотря на то, что составляющие тензора в разных системах координат, т.е. напряжения, действующие по координатным площадкам, различны. Однако, имеются выражения, составленные из напряжений по координатным площадкам, которые остаются постоянными в любой системе координат. Эти выражения и называются инвариантами напряженного состояния в точке или инвариантами тензора напряжений. (1)

1.2 Определение главных напряжений Главными напряжениями называются нормальные напряжения, действующие по площадкам, где отсутствуют касательные напряжения. Координатные оси, являющиеся нормалями к таким площадкам, называются главными осями тензора напряжений, а сами площадки – главными площадками.

Главные напряжения определяются из кубичного уравнения: (2) Подставляя численные значения инвариантов тензора напряжений из(1), получаем:

Кубические уравнения общего вида могут иметь комплексные корни, уравнения для определения главных напряжений и главных деформаций всегда имеют три действительных корня. Решать их можно по-разному.

Можно сначала определить подбором один из корней уравнения, а затем разложить левую часть уравнения (2) на два сомножителя: линейный двучлен и квадратный трехчлен. После этого из решения квадратного уравнения определяются два оставшиеся корня. Существует и аналитический способ решения, для этого используются формулы Кардано.

Воспользуемся вторым способом.

Пусть задано кубическое уравнения: (3) После подстановки (4) получим кубичное уравнение (приведенное): (5) Здесьивычисляются по формулам: (6) Формулы Кардано для случая уравнения с тремя действительными корнями имеют вид: (7)

(8) Далее с помощью подстановки(4) в (3) находим корни исходного уравнения.

Решим наше уравнение (2):(9) Подстановка (4) с новыми обозначениями получает вид:

. (10) Здесь изменен знак второго слагаемого подстановки потому, что.

Подставляя (10) в (9) получим уравнение аналогичное (5): (11) Здесь коэффициентыивычисляются по формулам (6): Далее по формулам (7) находим: По формулам (8) находим корни уравнения (5): Учитывая (10), находим корни исходного уравнения (9), являющимися главными напряжениями:

(12)В соответствии с правилом индексации главных напряжений введены обозначения:- алгебраически максимальное напряжение;- алгебраически среднее (минимаксное) напряжение;- алгебраически минимальное напряжение.

Величиныивычислялись с точностью до третьего знака после запятой для того, чтобы в дальнейшем при решении систем уравнений, в которых отзависят величины коэффициентов, избежать возможных больших погрешностей, если встретятся малые разности больших величин.

Тензор напряжений в главных осях имеет вид: .

Похожие работы