Читать курсовая по математике: "Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Содержание 1. Введение

2. Постановка задачи

6. Построение общего решения матричным методом

7. Задача Коши для матричного метода

Графики

1. Введение Рассмотрим систему линейных уравнений первого порядка, записанную в нормальной форме: (1) где коэффициенты аij , i=1,2,…..,n, к=1,2,…,n, являются постоянными величинами;

yi=yi(t), i=1,2,…,n - неизвестные функции переменной t.

Если все bi(t) (i=1,2,…,n) положить равным нулю (bi(t)=0), то получится однородная система, соответствующая неоднородной системе (1).

Обозначая матрицу системы через А(х), а векторчерезтогда систему (1) можем переписать в матричной форме(1а) Если , то получаем соответствующую систему однородных уравнений . (2) Всякая совокупность n функцийопределенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a;b), называется решением системы (1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (1) в тождества: справедливые при всех значениях x из интервала (a, b). Общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной. 2. Постановка задачи Цель работы: исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей: ;;

Найти собственные числа и построить фундаментальную систему решений (ФСР). Построить фундаментальную матрицу методом Эйлера. Найти приближенное решение в виде матричного ряда. Построить общее решение матричным методом. Исследовать зависимость Жордановой формы матрицы А от ее собственных чисел. Решить задачу Коши.

Начальные условия:

Вектор начальных условий: [1, 2, 3, 4]

t = 0

Однородной линейной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида: (3) Если в матрице системывсе =const, то данная система называется системой с постоянными коэффициентами или с постоянной матрицей.

Фундаментальной системой решений однородной линейной системы уравнений называется базис линейного пространства решений , т.е. n линейно независимых решений этой системы.

Для построения фундаментальной системы решений дифференциального уравнения необходимо найти собственные числа характеристического полинома, так как в зависимости от их вида (характеристические числа могут быть действительными разными, кратными, комплексными) строится фундаментальная система решений.

Для того чтобы эта система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (вронскиан) был равен нулю: (4)

Из этого уравнения степени n определяется значение k, при которых система имеет нетривиальные решения. Уравнение (4) называется характеристическим.

Запишем характеристический полином, для этого воспользуемся функцией CHARPOLY Для нахождения собственных чисел воспользуемся функцией SOLVE(U, ), которая возвращает характеристические числа матрицы А в вектор . Получим:

Получилось два действительно корняи два комплексно-сопряженных корня .

Похожие работы