Читать курсовая по математике: "Двойной интеграл в механике и геометрии" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Министерство общего и профессиональногообразования Р.Ф.

Иркутский государственный техническийуниверситет. Кафедра высшей математики. Реферат. Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии.Выполнила: студентка

группы ТЭ-97-1

Мелкоступова С.С.Проверил преподаватель

кафедры высшей математики

Седых Е.И. Иркутск 1998. Содержание.

1.Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл.

2. Вычисление двойных интегралов.

a) примеры.

3.Приложения двойных интегралов к задачам механики.

а) масса плоской пластинки переменной плотности.

б) статические моменты и центр тяжести пластинки.

в) моменты инерции пластинки.

4.Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.

а) Объём.

б) Вычисление площади плоской области.

5.Вычисление площади поверхности.

а) Примеры. 1.Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл. Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью, с которой любая прямая, параллельная оси Oz, пересекается не более чем в одной точке, и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz.

Область D, высекаемая в плоскости Oxy цилиндрической поверхностью, называется основанием цилиндрического тела (см. рис.1). В частных случаях боковая цилиндрическая поверхность может и отсутствовать; примером тому служит тело, ограниченное плоскостью Oxy и верхней полусферой .Рис. 1

Обычно тело можно составить из некоторого числа цилиндрических тел и определить искомый объект как сумму объёмов цилиндрических тел, составляющих это тело.

Прежде всего напомним два принципа, из которых мы исходим при определении объёма тела:

если разбить тело на части, то его объём будет равен сумме объёмов всех частей; объём прямого цилиндра, т.е. цилиндрического тела, ограниченного плоскостью, параллельной плоскости Oxy, равен площади основания, умноженной на высоту тела.

Пусть есть уравнение поверхности, ограничивающей цилиндрическое тело. Будем считать функцию непрерывной в области D и сначала предположим, что поверхность целиком лежит над плоскостью Oxy, т.е. что всюду в области D.Рис. 2

Обозначим искомый объем цилиндрического тела через V, Разобьем основание цилиндрического тела - область D - на неко­торое число n областей произвольной формы; будем называть их частич­ными областями. Пронумеровав частичные области в каком-нибудь порядке, обозначим их череза их площади - через . Через границу каждой частичной области проведем цилинд­рическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Эти цилиндри­ческие поверхности разрежут поверх­ность на n кусков, соответствующих n частичным областям. Таким образом, цилиндрическое тело окажется разби­тым на n частичных цилиндрических тел (см.рис.2). Выберем в каждой частичной областипроизвольную точкуи заменим соответствующее частичное цилиндрическое тело прямым цилинд­ром с тем же основанием и высотой, равной . В ре­зультате получим n-ступенчатое тело, объем которого равен

Принимая объем V данного цилиндрического тела приближенно равным объему построенного n-ступенчатого тела, будем считать, что Vn тем точнее выражает V, чем больше n и чем меньше каждая из частичных областей. Переходя к пределу при мы будем требовать, чтобы не только площадь каждой

Похожие работы