- 1
- 2
- 3
- . . .
- последняя »
Собственные значения.
1. ВВЕДЕНИЕ
Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр называется характеристическим, или собственным, значением системы. С задачами на собственные значения инженер сталкивается в различных ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. При динамическом анализе механических систем собственные значения соответствуют собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют моды этих колебаний. При расчете конструкций собственные значения позволяют определять критические нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости.
Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений или собственных векторов для данной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Алгоритмы решения задач на собственные значения делятся на две группы. Итерационные методы очень удобны и хорошо приспособлены для определения наименьшего и наибольшего собственных значений. Методы преобразований подобия несколько сложней,зато позволяют определить все собственные значения и собственные векторы.
В данной работе будут рассмотрены наиболее распространенные методы решения задач на собственные значения. Однако сначала приведем некоторые основные сведения из теории матричного и векторного исчислений, на которых базируются методы определения собственных значений.
2. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
В общем виде задача на собственные значения формулируется следующим образом:
AX = X,
где A — матрица размерности n х n. Требуется найти n скалярных значений и собственные векторы X, соответствующие каждому из собственных значений.
Основные определения матричного исчисления
1. Матрица A называется симметричной, если
аij = аij, где i, j = 1, 2, . . ., n.
Отсюда следует симметрия относительно диагонали
аkk, где k == 1, 2, . . ., n.
Матрица
1 | 4 | 5 |
4 | 3 | 7 |
5 | 7 | 2 |
является примером симметричной.
2. Матрица A называется трехдиагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной и примыкающих к ней диагоналей, равны нулю. В общем случае трехдиагональная матрица имеет вид
* | * | 0 | ||||||
* | * | * | ||||||
* | * | * | ||||||
. | . | . | . | . | . | |||
* | * | * | ||||||
0 | * | * | * | |||||
* | * |
Важность трехдиагональной формы обусловлена тем, что некоторые методы преобразований подобия
- 1
- 2
- 3
- . . .
- последняя »
Похожие работы
Тема: Собственные вектора и собственные значения линейного оператора |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Собственные вектора и собственные значения линейного оператора |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Собственные значения |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Собственные значения. |
Предмет/Тип: Математика (Курсовая работа (т)) |
Тема: Собственные значения |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Интересная статья: Основы написания курсовой работы