Читать контрольная по математике: "Функции дискретного преобразования" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Доказать, что множество функцийна отрезке [-π; π] образуют систему ортонормированных функций.

Решение:

Систему функций(конечную или бесконечную) называют ортогональной на отрезке , если все функции этой системы являются попарно ортогональными на данном отрезке, т.е., , .Ортогональную система функций () на отрезкеназывают ортонормированной системой, если .Любая ортогональная насистема функций () сℕ может быть нормирована. Для этого следует разделить каждую функцию системы () на ее норму. В результате будет получена ортонормированная система функций .

Проверим условие ортогональности для заданной системы.

и так далее.

Значит, все функции данной системы попарно ортогональны.

Проверим условие нормированности функций системы

Найдем вадраты норм всех функций:

Следовательно, данная система функций является ортогональной, но не является нормированной.

функция дискретный фурье сигнал

Разложить в тригонометрический и комплексный ряды Фурье пилообразный сигнал на отрезке [-π; π], показанный на рисунке. Решение:

Ряд Фурье периодической функциис периодом , которая определена на сегменте , это ряд вида:

,

где

Если данный ряд является сходящим, то его суммойявляется периодическая функция с периодом , т.е. .

Когдаявляется нечетной функцией, ее ряд Фурье содержит только синусы, т.е.

где

Заданная функция имеет периоди задана на интервалеформулой:

Данная функция удовлетворяет условиям Дирихле и, следовательно, её можно разложить в ряд Фурье. Функция является нечетной.

Находим коэффициенты Фурье:

:

,

т.к. .

Следовательно, ряд Фурье функциибудет иметь вид

.

Так как функцияудовлетворяет условиям Дирихле, то в любой точке непрерывностисумма ряда равна значению функции. В точкахисумма ряда равна нулю. Покажем графики: функциии частичных сумм ряда, содержащие 1, 2 и 3 члена на рисунке. График частичных сумм ряда приближается к графику функциипри увеличении членов суммы.

y

Для функций с произвольным периодомряд Фурье в комплексной форме имеет вид

,

где

.

Находим комплексную форму ряда Фурье заданной функции. По формуле:

По формулам Эйлера

.

Следовательно:

.

Используя специализированные программные средства (Matlab, LabVIEW и т.д.), нужно:

Сгенерировать программно произвольный сигнал, состоящий из определенного количества выборок. Построить график сигнала.

Выполнить дискретное преобразование Фурье данного сигнала, используя функции из специальных библиотек.

Построить графики действительных частей коэффициентов Фурье, мнимых частей коэффициентов Фурье, спектра амплитуд. Считая, что исходный цифровой сигнал был дискретизирован с определенной частотой выборки fs, подписать на графиках частоты в Гц. Частота выборки fs выбирается самостоятельно.

Решение:= linspace(-5,5,512);%Задание вектора времени = exp(-t.^2);%Вычисление дискретной функции = fft(f);%Вычисление преобразования Фурье (211); plot (t,f);%Отрисовка исходной функции subplot (212); (1:512, F);%Фурье образ как функция номера

Дискретное преобразование Фурье. а) Исходная функция - Действительная часть преобразованной функции,

Похожие работы