Читать контрольная по математике: "Расчет показателей функций" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Задача 1Вычислить .

Решение

Заметим, чтои . Тогда

.

Ответ: 3/2.

Задача 2

Пусть матрицыитакие что: ,и выполнено условие:

.

Требуется:

) Предложить матрицыи , удовлетворяющие этому уравнению;

) Доказать, что.

Решение

Так как, по условию

,

Откуда . Обозначим . Тогда . Умножим последнее уравнение наслева, получим:

, откуда .

Следовательно, , то есть . Так как , то .

Задача 3

Доказать, что .

Решение

Докажем, что . Умножим обе части на , получим .

То есть,или . Что очевидно: .

Тогда: .

Задача 4Разложить функциюпо формуле Тейлора в окрестности точки . Рассчитать коэффициентпри .

Решение

1 способ. Непосредственно проводя вычисления производных, получим, до пятого члена:

.

способ. Перемножим 2 ряда, используя метод неопределенных коэффициентов:

.

способ. По формуле Эйлера:

, с учётом , получим

.

Данное разложение позволяет легко определить любой коэффициент. Задача 5Найти пределы: а) , б) , в) .

Решение. а) ; б) , в) .

Задача 6

Дан эллипс .

Требуется:

1) Предложить уравнение гиперболы, имеющее такие же координаты фокусов;

) Показать, что таких гипербол бесконечно много;

) Показать, что эти гиперболы ортогональны данному эллипсу.

Решение

Из уравнения эллипса получаем координаты фокусови эксцентриситет .

Пусть искомая гипербола имеет вид . С учетом условий: , где .

Пусть- точка пересечения параболы и гиперболы. Уравнения касательных для этих кривых вимеют вид:с угловыми коэффициентами .

Далее, из системы уравненийполучаем .

Окончательно, .

Задача 7

Найти все корни уравнения .

Решение

Очевидно, что данное уравнение имеет ровно 2016 корней с учетом кратных и комплексных корней: , , .

уравнение тейлор гипербола координата

Задача 8Накануне Летних Олимпийских Игр 2016 года в Рио-де-Жанейро Всемирное Антидопинговое Агентство решило проверить всех спортсменов на употребление запрещенного вещества - мельдония. Современные методы позволяют обнаружить мельдоний, даже если анализируется смесь проб у нескольких спортсменов. Поэтому, чтобы уменьшить количество проб и расходы на них, было предложено смешивать пробыспортсменов, и если проба дала отрицательный результат, то все спортсмены допущены к соревнованиям. Если же результат допинг-пробы положительный, берется ещепроб у каждого спортсмена в отдельности. Найти оптимальную численность группы , если вероятность того, что спортсмен принимал мельдоний . Считать, что число спортсменов достаточно велико.

Решение

Вероятность того, в группе изспортсменов получится отрицательная проба равна . Тогда «функция экономии» будетона имеет максимум при .

Задача 9При каких значениях параметрапределбудет конечным и ненулевым? Найти этот предел.

Замечание. Разложение функциив ряд Тейлора:

Решение

Воспользуемся разложением в ряд Тейлора функцийидо : , .

Тогда . Для того, чтобы предел был конечным и ненулевым, необходимо, чтобы коэффициент в числителе

Похожие работы