Читать контрольная по математике: "Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии Аналитическая геометрия изучает свойства геометрических объектов при помощи алгебраических методов. В основе такого подхода лежит метод координат, впервые систематически примененный великим французским математиком Рене Декартом (1596-1650).

Направленный отрезокв котором считаем точку - началом, а точку - концом, называют вектором. Векторы называют коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых. Векторы называют компланарными, если они расположены на прямых, параллельных некоторой одной плоскости. Будем считать, что при параллельном переносе вектор не изменяется.

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат , и каждой точкепоставлена в соответствие тройка чисел - координаты точки. Рассмотрим две точки пространстваи . Координаты векторанаходятся по формулам:

В частном случае, радиус-векторначинающийся в начале координат - точкеимеет такие же координаты, как и точкаБазисными векторами будем считать векторыМодуль (или длина) вектораи определяется формулой

Эта же формула, естественно, позволяет вычислять длину отрезкаили расстояние между точкамииЗаметим, что

Теперь определим операции над векторами. Сложение векторовосуществляется следующим образом.

Такое построение суммы векторов

Называют правилом параллелограмма.

Для того чтобы умножить вектор на положительное число, надо умножить на это число его длину и сохранить направление. Чтобы умножить вектор на отрицательное число, его длину умножают на модуль числа и меняют направление на противоположное. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются; при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число:

Каждый векторможет быть выражен через базисные векторы с помощью этих операцийДанную формулу называют разложением вектора по базису.

Скалярным произведением векторовиназывают число, обозначаемоеравное

где - угол между векторамии . Если векторы заданы координатамито скалярное произведение выражается формулой

Используя скалярное произведение, находим угол между векторами:

Векторыиперпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведениеНеобходимым и достаточным условием коллинеарности векторовиявляется существование такого числачтоЧерез координаты векторов это условие коллинеарности

имеет вид

вектор геометрический скалярный угол

В заключение этой теоретической части нашего урока отметим, что все перечисленные формулы пригодны для векторов на плоскостиНадо лишь «убрать» в этих формулах третью координату.

Решим вместе несколько примеров.

Пример

Похожие работы