Читать контрольная по математике: "Пирамида с треугольником в основании" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

В пирамиде SАBC: треугольник АBС - основание пирамиды, точка S - ее вершина. Даны координаты точек А, B, C, S. Сделать чертеж. Найти:

). длину ребра АB;

). угол между ребрами АB и АS;

). угол наклона ребра АS к основанию пирамиды;

). площадь основания пирамиды;

). объем пирамиды;

). уравнение прямой АB;

). уравнение плоскости АBC;

). проекцию вершины S на плоскость АBC;

). длину высоты пирамиды. Задание 14.

A(3;2.0); B(1;2;0); C(0;4;2); S(1;-2;4) Сделаем чертеж

1. Длина ребра АB Длина ребра АB равна длине вектора АB.

Найдем координаты вектора

;

Тогда длина вектораравна: . Угол между ребрами АB и АSУгол между ребрами АB и АS равен углу между векторамии . Угол между векторами находим по формуле:

Тогда

Следовательно

3. Угол наклона ребра АS к основанию пирамиды.Угол наклона ребра АS к основанию пирамиды является углом между прямой AS и ее проекцией на плоскость. Это угол между нормалью к плоскости АBC и прямой АS. В качестве нормали возьмем векторное произведениеи .

Следовательно,

Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты

Тогда угол между ребром АS и гранью АBC равен:

4. Площадь основания пирамидыПлощадь основания пирамиды равна площади грани АBC и равна половине площади параллелограмма, построенного на векторахи . Площадь же параллелограмма равна векторному произведению векторови . Произведение векторов численно равно модулю нормального вектора. Т.о.

Следовательно,

. Объем пирамиды Объем пирамиды построенной на векторах найдем по формуле

где

Учитывая, что

Следовательно

. Уравнение прямой АB.

Уравнение прямой АB найдем как уравнение прямой с направляющим вектором . Т.е.

пирамида ребро угол основание

или

Т.е. искомая прямая лежит в плоскости .

. уравнение плоскости АBC.

Уравнение плоскости АBC будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

или

Окончательно получаем

8. Проекцию вершины S на плоскость АBC Проекция вершины S на плоскость АBC - это точка пересечения плоскости ABC и прямой SD, перпендикулярной плоскости ABC.

Уравнение высоты может быть найдено как уравнение прямой, проходящей через заданную точку A с направляющим вектором. В качестве направляющего вектора используем нормальный вектор плоскости АBC.

Нормальный вектор плоскости получим из ее уравнения (пункт 7).

Таким образом уравнение искомой прямой имеет вид

или

Найдем точку пересечения плоскости и прямой. Для этого решим систему полученных уравнений

Следовательно, точка D(1,1,1).

. Длину высоты пирамиды

Длину высоты пирамиды найдем по формуле расстояния от точки до плоскости

где,координаты точки S,

A,B,C,D - коэффициенты уравнения плоскости основания пирамиды.

Следовательно

Похожие работы