Читать контрольная по всему другому: "Решение смешанной краевой задачи для гиперболического уравнения разностным методом" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Введение Дифференциальные уравнения в частных производных имеют широкое приложение в математической физике, гидродинамике, акустике и других областях знаний. Большинство таких уравнений в явном виде не решаются. Поэтому широкое распространение получили методы приближенного их решения, например метод сеток, частным случаем которого является разностный метод [2]. Это универсальный и эффективный метод. Он позволяет сводить приближенное решение уравнений в частных производных к решению систем алгебраических уравнений [3].

Цели курсовой работы:

). Обзор литературы по теме «Решение смешанной краевой задачи для гиперболического уравнения разностным методом».

). Реализация разностного метода применительно к смешанной краевой задачи для гиперболического уравнения в системе программирования Borland C++ Version 3.1.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения. Первая глава посвящена обзору основных понятия, касающихся разностных схем. Во второй главе рассматривается смешанная краевая задача, для которой приведен алгоритм построения разностной схемы, а также описание программы «smesh_giperb» и её тест на конкретном примере. В приложении представлен код программы, позволяющий получить приближенное решение смешанной краевой задачи с граничными условиями третьего рода.

Глава 1. Разностные методы решения дифференциальных уравнений Характерной особенностью различных разностных методов является то, что в качестве приближенного решения выбирается сеточная функция. Выделим основные пункты построения и исследования разностных схем.

. Заменить область непрерывного изменения аргумента на дискретную область изменения. Это дискретное множество точек называется сеткой или решеткой, а отдельные точки этого множества - узлами сетки. Чаще всего сетка выбирается прямоугольной и равномерной.

. Заменить в узлах этой сетки производные искомой функции разностными отношениями, использовав формулы численного дифференцирования.

. Проверить условие аппроксимации разностной схемы.

. Доказать устойчивость построенной разностной схемы. Это один из наиболее важных и сложных вопросов. Если схема обладает аппроксимацией и устойчивостью, то о сходимости разностной схемы судят о теореме доказанной ниже.

В результате получилась система алгебраических уравнений для определения приближённого решения. Такая система часто называется разностной схемой. Точно так же можно заменить и частные производные и свести краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных к алгебраической системе. Функция, определенная в узлах сетки называется сеточной функцией.

Сетка. Аппроксимация частных производных разностными отношениями.

Мы ввели уже понятие сетки, узлов сетки, разностной схемы и сеточной функции.

Обозначим

- искомая функция, ,

- открытая область с границей ,

- сетка на , где h - вещественный положительный параметр, характеризующий густоту точек на сетке.

- сеточная функция, совпадающая с точным решением дифференциальной краевой задачиво всех узлах сетки , называемая точным решением на сетке или точным сеточным решением.

Теперь рассмотрим примеры сеток.

Пример 1.

Равномерная сетка на отрезке.

Похожие работы