Читать контрольная по математике: "Математические последовательности. Предел функции" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Задание 1 Вычислитеипоследовательности .

Решение.

Рассмотрим последовательность .

для любого натурального

Следовательно, множествоявляется ограниченным сверху. Это означает, что последовательностьимеет верхнюю точную грань: . Следовательно, множествоне является ограниченным снизу. Это означает, что нижняя граньпоследовательностине существует.

Ответ.не существует Задание 2 Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что .

Доказательство.

Числоназывается пределом последовательности , если для любого положительного числасуществует номертакой, что привыполняется неравенство .

Используя определение предела последовательности, докажем, что .

Возьмем любое число .

Если взять , то для всехбудет выполняться неравенство . Следовательно, .

Доказано

Задание 3 Пользуясь определением предела функции, докажите, что .

Доказательство

Числоназывается пределом функциипри , если для любого числасуществует числотакое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Используя определение предела функции, докажем, что .

Возьмем любое .

Положим .

Если взять , то для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Следовательно, .

Доказано.

Задание 4 Вычислите предел .

Решение.

Ответ.Задание 5 Вычислите предел .

Решение.

Ответ.

Задание 6 Вычислить предел .

Решение.

Ответ.Задание 7 Вычислить предел .

Решение. Ответ.Задание 8 Вычислить предел .

Решение

Ответ.Задание 9 Вычислить предел .

Решение. Ответ.Задание 10 Вычислить предел .

Решение.

Ответ.Задание 11 Вычислить предел .

Решение.

Ответ.Задание 12 Вычислить предел .

Решение.

Ответ. Задание 13 Вычислить предел .

Решение. Ответ.Задание 14 Вычислить предел .

Решение.прифункцияявляется бесконечно малой

для любогофункцияявляется ограниченной.

Известно, что произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции есть бесконечно малая функция. Следовательно, функцияявляется бесконечно малой при . Это означает, что .

Ответ.

Похожие работы