Читать учебник по математике: "Численные методы решения жестких и нежестких краевых задач" Страница 6

(Назад) (Cкачать работу)

– значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1,– прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, – вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами =const, решение задачи Коши имеет вид [Гантмахер]:

,где , где- это единичная матрица.

Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или матрициантом и может обозначаться в виде:

.

Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:

,

гдеэто вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши): В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами , решение задачи Коши предлагается, как это известно, искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:

,

где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:

, где.Глава 2. Усовершенствование метода ортогональной прогонки С.К.Годунова для решения краевых задач с жесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями.2.1. Формула для начала счета методом прогонки С.К.Годунова.

Рассмотрим проблему метода прогонки С.К.Годунова.

Предположим, что рассматривается оболочка ракеты. Это тонкостенная труба. Тогда система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений будет 8-го порядка, матрицакоэффициентов будет иметь размерность 8х8, искомая вектор-функциябудет иметь размерность 8х1, а матрицы краевых условий будут прямоугольными горизонтальными размерности 4х8.

Тогда в методе прогонки С.К.Годунова для такой задачи решение ищется в следующем виде [Годунов]:

,

или можно записать в матричном виде:

,

где векторы- это линейно независимые вектора-решения однородной системы дифференциальных уравнений, а вектор- это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

Здесьэто матрица размерности 8х4, аэто соответствующий вектор размерности 4х1 из искомых констант.

Но вообще-то решение для такой краевой задачи с размерностью 8 (вне рамок метода прогонки С.К.Годунова) может состоять не из 4 линейно независимых векторов, а полностью из всех 8 линейно независимых векторов-решений однородной системы дифференциальных уравнений: И как раз трудность и проблема метода прогонки С.К.Годунова и состоит в том, что решение ищется только с половиной возможных векторов и констант и проблема в том, что такое решение с половиной констант должно удовлетворять условиям на левом крае (стартовом для прогонки) при всех возможных значениях констант, чтобы потом найти эти константы из условий на правом крае.

То есть в методе прогонки С.К.Годунова есть проблема нахождения таких начальных значенийвекторов, чтобы можно было начать прогонку с левого края =0, то есть чтобы удовлетворялись условияна левом крае при любых

Похожие работы