Читать доклад по математике: "ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ." Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1п. Общий вид нелинейного уравнения

F(x)=0

Нелинейные уравнения могут быть двух видов:

Алгебраические

anxn + an-1xn-1 +… + a0 = 0

Трансцендентные- это уравнения в которых х является аргументом тригонометрической, логарифмической или показательной функции. Значение х0 при котором существует равенство f(x0)=0 называется корнем уравнения.

В общем случае для произвольной F(x) не существует аналитических формул определения корней уравнения. Поэтому большое значение имеют методы, которые позволяют определить значение корня с заданной точностью. Процесс отыскания корней делиться на два этапа:

Отделение корней, т.е. определение отрезка содержащего один корень.

Уточнение корня с заданной точностью.

Для первого этапа нет формальных методов, отрезки определяются или табуляцией или исходя из физического смысла или аналитическими методами.

Второй этап, уточнение корня выполняется различными итерационными методами, суть которых в том, что строится числовая последовательность xi сходящихся к корню x0

Выходом из итерационного процесса являются условия:

│f(xn)│≤ε

│xn-xn-1│≤ε

рассмотрим наиболее употребляемые на практике методы: дихотомии, итерации и касательных. 2 п. Метод половинного деления.

Дана монотонная, непрерывная функция f(x), которая содержит корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ε, если известно, что f(a)*f(b)a. Определить корень с точностью ε. Суть метода

Дано f(x)=0 (1)

Заменим уравнение (1) равносильным уравнением x=φ(x) (2). Выберем грубое, приближенное значение x0 , принадлежащее[a,b], подставим его в правую часть уравнения (2), получим:

x1= φ(x0) (3) , далее подставим х1 в правую часть уравнения (3) получим:

x2= φ(x1) (4)

x3= φ(x2) (5)

Проделаем данный процесс n раз получим xn=φ(xn-1)

Если эта последовательность является сходящейся т.е. существует предел

x* =lim xn , то данный алгоритм позволяет определить искомый корень.

Выражение (5) запишем как x*= φ(x*) (6)

Выражение (6) является решением выражения (2), теперь необходимо рассмотреть в каких случаях последовательность х1…хn является сходящейся. 4 п. Метод касательных (Ньютона).

Дана непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на отрезке [a,b], где b>a при чем определены непрерывны и сохраняют знак f`(x) f``(x). Определить корень с точностью ε. Суть метода

Выбираем грубое приближение корня х0 (либо точку a, либо b)

Наити значение функции точке х0 и провести касательную до пересечения с осью абсцисс, получим значение х1

5п. Задание для РГР

Вычислить корень уравнения

На отрезке [2,3] с точностью ε=10-4 методами половинного деления, итерации, касательных.

6 п. Сравнение методов

Эффективность численных методов определяется их универсальностью, простотой вычислительного процесса, скоростью сходимости.

Наиболее универсальным является метод половинного деления, он гарантирует определение корня с заданной точностью для любой функции f(x), которая меняет знак на [a,b]. Метод итерации и метод Ньютона предъявляют к функциям более жесткие требования, но они обладают высокой скоростью сходимости.

Метод итерации имеет очень простой алгоритм вычисления, он применим для пологих функций. Программа по

Похожие работы