Читать доклад по математике: "ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ: ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

Если система ограничений совместна, то по аналогии с трехмерным пространством она образует общую часть n-мерного пространства, называемую многогранником решений, так как координаты каждой его точки являются решением

Таким образом, геометрически задача линейного программирования представляет собой отыскание такой точки многогранника решений, координаты которой доставляют линейной функции минимальное значение, причем допустимыми решениями служат все точки многогранника решений

Графический метод решения задачи линейного программирования.

Область применения.

Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного простран6тва, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно

Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, т. е. ограничения содержат две переменные

Найти минимальное значение функции

(2.1) Z = С 1 х 1 +С 2 х 2

при

a 11 x 1 + a 22 x 2 b 1

(2.2)a 21 x 1 + a 22 x 2 b 2

. . . .

a M1 x 1 + a M2 x 2 b M

(2.3) х 1 0, х 2 0

Допустим, что система (2.2) при условии (2.3) совместна и ее многоугольник решений ограничен. Каждое из неравенств (2.2) и (2.3), как отмечалось выше, определяет полуплоскость с граничными прямыми: a i1 x 1 + a i2 x 2 + a i3 x 3 = b i ,(i = 1, 2, ..., n), х 1 =0, х 2 =0. Линейная функция (2.1) при фиксированных значениях Z является уравнением прямой линии: С 1 х 1 + С 2 х 2 = const. Построим многоугольник решений системы ограничений (2.2) и график линейной функции (2.1) при Z = 0 (рис. 2.1). Тогда поставленной задаче линейного прграммирования можно дать следующую интерпретацию. Найти точку многоугольника решений, в которой прямая С 1 х 1 + С 2 х 2 = const опорная и функция Z при этом достигает минимума

Значения Z = С 1 х 1 + С 2 х 2 возрастают в направлении вектора N =(С 1 , С 2 ), поэтому прямую Z = 0 передвигаем параллельно самой себе в направлении вектора Х. Из рис. 2.1 следует, что прямая дважды становится опорной по отношению к многоугольнику решений (в точках А и С), причем минимальное значение принимает в точке А. Координаты точки А (х 1 , х 2 ) находим, решая систему уравнений прямых АВ и АЕ

Если многоугольник решений представляет собой неограниченную многоуголь-ную область, то возможны два случая

Случай 1. Прямая С 1 х 1 + С 2 х 2 = const, передвигаясь в направлении вектора N или противоположно ему, постоянно пересекает многоугольник решений и ни в какой точке не является опорной к нему. В этом случае линейная функция не ограничена на многоугольнике решений как сверху, так и снизу (рис. 2.2)

Случай 2. Прямая, пере-двигаясь, все же становится опорной относительно многоу-гольника решений (рис. 2.2, а – 2.2, в).

Похожие работы