Читать доклад по математике: "КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

1. Кривые второго порядка

1.1. Эллипс

Эллипс – это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фик­сированных точек плоскости, называе­мых фокусами, есть постоянная величина. Необходимо, чтобы эта по­стоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса при­нято обозначать через F 1 и F 2.

Выведем уравнение эллипса

Пусть М — произвольная точка эллипса с фокусами F 1 и F 2. Отрезки F 1 М и F 2 М (так же как и длины этих отрезков) назы­ваются   фокальными радиусами точки М. По­стоянную сумму фокаль­ных ра­диусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:

F 1 М + F 2 М = 2а

Расстояние F 1 и F 2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фоку­сами F 1 , F 2.

Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r 1 и r 2 расстояния от точки М до фокусов ( r 1 = F 1 М, r 2 = F 2 М). Точка М будет нахо­диться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда

r 1 + r 2 = 2а

Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r 1 и r 2 их выраже­ниями через координаты х, у

Заметим, что, так как F 1 F 2 = 2с и так как фокусы F 1 и F 2 распо­ложены на оси Ох симметрично от­носительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (-с; 0) и (+с; 0); при­няв это во внимание находим:

Заменяя r 1 и r 2 , получаем:

Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки

М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведём обе части равенства в квадрат, полу­чим:

или             

Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:

а 2 х 2 — 2а 2 сх + а 2 с 2 + а 2 у 2 = а 4 — 2а 2 сх + с 2 х 2   ,

откуда

(а 2 —с 2 )х 2 + а 2 у 2 = а 2 (а 2 —с 2 )

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

  ;

а>с, следовательно, а 2 —с 2 >0 и величина b —вещественна

b 2 = a 2 —c 2 ,

тогда

b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ,

или                   

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса

Уравнение

,

определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка

Эксцентриситетом эллипса называется отношение рас­стояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ε, получаем:

Так как с< a , то ε b

Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и рас­положенные симметрично относи­тельно центра на расстоянии   от него, называются директрисами эллипса

Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид   и  Первую из них мы условимся называть левой, вторую—правой. Так как для эллипса ε a , следовательно, с 2 —а 2 >0 и величина b —вещественнаb 2 = с 2 —а 2 ,тогдаb 2 x 2 — a 2 y 2 = a 2 b 2   ,или                           Уравнение  ,определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямо­угольных коорди­нат, есть урав­нение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядкаЭксцентриситетом гиперболы называется отношение рас­стояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет бук­вой ε,

Похожие работы