Читать диплом по математике: "Омбилические поверхности второго порядка" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

САМАРКАНДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛИШЕРА НАВОИ

Механико-математический факультет

- математическое направление омбилические поверхности второго порядка

(выпускная квалификационная работа) Ахророва Гулноза

Разрешение на защиту:

Декан факультета: проф. А. Солеев

Зав.кафедрой: доц.Х. Х. Рузимурадов

Научный руководитель: проф. Артыков. А. Р. Самарканд-2012

Введение Подстановка задачи: Тема выпускной работы посвящена изучению омбилических точек поверхностей второго порядка и доказательству того факта, что в евклидовом пространстве Е3сфера есть единственная поверхность второго порядка, состоящая из омбилических точек (т. е. сфера S2 есть единственная омбилическая поверхность в Е3).

Актуальность темы: Поверхности второго порядка - единственные поверхности, все плоские сечения которых являются линиями второго порядка.

Цели и задачи. В работе изучаются следующие задачи: Доказывается основная теорема: если поверхность второго порядка состоит из одних лишь омбилических точек, то она может быть только сферой.

Отметим некоторые поверхности второго порядка, которые имеют омбилические точки. Применяя растяжение к сжатому или вытянутому эллипсоиду вращения, получим эллипсоид самого общего вида (трёхосный эллипсоид). В то время как всякий эллипсоид вращения симметричен по отношению к любой плоскости, проходящей через ось вращения, общего (трёхосный) имеет всего три плоскости симметрии, которые расположены перпендикулярно друг к другу.

Отрезки трех линий пересечения этих плоскостей имеют неравную длину (они называются «большой», «средней» и «малой» осями эллипсоида).

Из трёхосного эллипсоида можно снова получить сжатый или вытянутый эллипсоид вращения, если применив преобразование растяжения, сделать равными друг другу большую и среднюю оси или среднюю и малую оси.

Наиболее общими поверхностями, получающимися путём растяжения гиперболоидов вращения и параболоида вращения, являются однополостный и двуполостный гиперболоиды и эллиптический параболоид.

Оба гиперболоида имеют по три плоскости симметрии, а эллиптический параболоид - две.

Три поверхности второго порядка - эллипсоид, двуполостный гиперболоид и эллиптический параболоид не могут, содержат прямых целиком, уже потому что они не простираются в бесконечность непрерывно в двух противоположных направлениях. Некоторые поверхности второго порядка могут быть присоединены бесчисленное множество окружностей.

Для того, чтобы убедится в существовании круговых сечений, рассмотрим трёхосный эллипсоид. Это поверхность в пересечении со всеми плоскостями, проходящими через среднюю ос в, образует эллипсы, у которых одна ось постоянна, а именно равна в.

Если мы возьмем плоскость, проходящую через ось в и через малую ось с, и станем вращать ее вокруг оси в, до совпадения с плоскостью проходящей через ось в и через большую ось а, то будем получать в пересечении с поверхностью эллипсы, у которых вторая ось сначала будем меньше оси в, а затем больше в. Значит, должен быть какое - то промежуточное положение плоскости, при котором обе оси эллипса равны, и следовательно, кривая получающаяся в сечение обращается

Похожие работы