Читать диплом по математике: "Метод Ньютона для решения нелинейных задач" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Оглавление Введение

Глава I. Приближенное решение систем нелинейных уравнений различными методами

.1 Метод простой итерации

.2 Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений

.3 Метод хорд

.4 Методы спуска

Глава II. Метод Ньютона для решения нелинейных задач

.1 Общие замечания о сходимости процесса Ньютона

.2 Существование корней системы и сходимость процесса Ньютона

.3 Быстрота сходимости процесса Ньютона

.4 Модифицированный метод Ньютона

Заключение

Список использованной литературы Введение Решение систем нелинейных уравнений является в общем случае задачей несравненно более сложной, нежели решение систем линейных уравнений. Не существует методы, которые гарантировали бы успех решения любой такой задачи.

Как и для отдельных уравнений, наибольшую проблему представляет задача отделения решений (корней). Для системы уравнений снеизвестными необходимо:

Во-первых, понять, сколько у нее решений;

Во-вторых, выделить области мерного пространства, в каждой из которых есть одно и только одно решение. Лишь после этого можно говорить о нахождении решений с заданной точностью (оцениваемой в соответствии с используемой метрикой).

Для отделения корней общих методов, гарантирующих успех, не существует. В реальных задачах, являющихся этапами моделирования, исследователь обычно догадывается, где примерно находятся корни системы.

В данной выпускной квалификационной рассматриваются методы решения систем нелинейных уравнений и нахождения их корней с заданной точностью. Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав, первая из которых включается в себя разор различных методов решения систем нелинейных уравнений, а вторая глава посвящена методу Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

Глава 1. Приближенное решение систем линейных уравнений различными методами .1 Метод простой итерации Начнем изучение итерационных методов с метода простой итерации.

Этот метод состоит в следующем: система уравнения преобразуется к виду(1.1)

иначе, и итерации проводятся по формуле(1.2) Подойдем к изучению этого метода с более общих позиций. Пусть H - полное метрическое пространство, а операторотображает H в себя. Рассмотрим итерационный процесс(1.3) решения уравнения(1.4) Если при некоторомотображениеудовлетворяет условию

(1.5) при всех , то такое отображение называют сжимающим.

Теорема: если отображениесжимающее, то уравнениеимеет единственное решениеи здесь- расстояние междуи .

Док-во: согласно (5) имеем поэтомуПриимеем цепочку равенств(1.6) согласно критерию Коши последовательностьимеет некоторый предел . Переходя к пределу в (1.6) при , получаем Справедлива цепочка отношений Посколькупроизвольное тои следовательно . Предположим, что уравнение (4) имеет два решенияи . ТогдаМы наткнулись на противоречие. Теорема доказана!

Замечание: прииз (6) следует, чтоТаким образом, все приближения принадлежат области При доказательстве теоремы отображениеприменяется к лишь элементам множестваи условие сжимаемости применяется лишь относительно пары элементов из . Поэтому ив формулировке теоремы достаточно предполагать лишь, что отображениеопределено на элементах изи удовлетворяет условию (5) при

Если решается одно скалярное

Похожие работы