- 1
- 2
- 3
- 4
- . . .
- последняя »
имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеются аналоги в теории измерений: это интегралы Лебега и Стилтьеса. Так как интеграл Стилтьеса охватывает более широкий класс функций, мы остановимся на рассмотрении этого интеграла.
Выбор темы обусловлен тем, что изучению интеграла Стилтьеса уделяется меньше внимания, чем интегралам Римана и Лебега, хотя именно идея стилтьесовского интегрирования богаче и плодотворней предыдущих, определение интеграла Стилтьеса шире классического и в некотором отношении удобнее его.
Цель работы - рассмотреть необходимость введения понятия интеграла Стилтьеса, дать точное, компактное, сравнительно полное изложение теории интеграла Стилтьеса.
Задачи, которые нужно выполнить для достижения цели:
изучить множество литературы по этой теме;
отобрать из изученного материла необходимый;
привести примеры использования интеграла.
Работа состоит из трёх глав. Первая посвящена развитию данного понятия, проблеме моментов, которая и привела к необходимости введения нового понятия интеграла.
Во второй главе рассмотрены основные понятия, определение самого интеграла, свойства, способы вычисления, рассмотрено множество примеров.
Третья глава посвящена применению интеграла Стилтьеса в других разделах математики и в других науках.
Глава I. Развитие понятия интеграла1.1 Проблема моментов
Введение понятия интеграла Стилтьеса и последующая его разработка связаны с проблемой моментов, состоящей в следующем. Пусть задана последовательность чисел ; требуется найти такую функцию распределения , чтобы члены заданной последовательности были моментами, т.е. . Если a и b конечны, то поставленная задача называется проблемой моментов в конечном интервале; если , то получаем проблему моментов Стилтьеса.
Проблема моментов первоначально ставилась в менее общей форме. А именно по заданной последовательности чиселищется такая функция , чтобы имели место равенства . Целесообразность привлечения интеграла Стилтьеса для постановки и решения проблемы моментов напрашивается довольно естественно. С таким положением вещей и столкнулся Стилтьес при изучении непрерывных дробей, и именно в результате этих исследований он предложил своё обобщение интеграла.
Ранние исследования Стилтьеса изложены в его статье о механических квадратурах, в которой выясняется, позволяют ли формулы квадратур получать неограниченное приближение интеграла в смысле Римана. Во вводной части статьи Стилтьес решает задачу об определении многочлена
Условиями
(1)
при неотрицательной на .
Мы коснемся двух моментов из содержания его статьи.
Первый относится к задаче о степени приближения, даваемого квадратурной формулой Гаусса:
Здесь Стилтьес пользуется доказанными им формулами П.Л. Чебышева в виде
где . (2)
Он показывает, что если в квадратурной формуле Гаусса в качествебрать числа , получаемые по формуле (2) из цепной дроби, соответствующей интегралу , абудут корнями знаменателей подходящих дробей, то формула Гаусса даст сколь угодно точное приближение при возрастании . Для этой цепной дроби числа , очевидно, удовлетворяют неравенствам
- 1
- 2
- 3
- 4
- . . .
- последняя »
Похожие работы
Тема: Интеграл Лебега |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Интеграл Лебега |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Определенный интеграл |
Предмет/Тип: Математика (Доклад) |
Тема: Двойной интеграл |
Предмет/Тип: Математика (Доклад) |
Тема: Интеграл Пуассона |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Интересная статья: Основы написания курсовой работы