Читать диплом по математике: "Экстремумы функций одной переменной" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

Предположим, что наша функция в некоторой точке (x10,x20,…,xn0) имеет экстремум,

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные

fx1’(x10,x20,…,xn0) ,…, f ’xn(x10,x20,…,xn0)

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим x2=x20,…,xn= xn0 сохраняя x1 переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной x1 :

u=f(x1, x20,…,xn0)

Так как мы предположили, что в точке (x10,x20,…,xn0) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности(x10- , x10+ ) точки x1= x10, необходимо должно выполняться неравенство

f(x1, x20,…,xn0)< f(x10,x20,…,xn0)

так что упомянутая выше функция одной переменной в точке x1= =x10 будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что

fx1’(x10,x20,…,xn0)=0

Таким образом можно показать, что в точке (x10,x20,…,xn0)

и остальные частные производные равны нулю.

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений

fx1’(x10,x20,…,xn0)=0

…………………….(5.1)

f ’xn(x10,x20,…,xn0)=0

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

Замечения :Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать так :

d f(x1,x2,…,xn)=0

так как, если fx1’= fx2’=…= f ’xn , то каковы бы ни были dx1,dx2,…,dxn всегда

f(x1,x2 d,…,xn)= fx1’ dx1+ fx2’ dx2+…+ f ’xn dxn=0

И обратно : если в данной точке тождественно выполняется это условие, то ввиду произвольности dx1,dx2,…,dxn производные fx1’, fx2’,…, f ’xn порознь равны нулю.

Обычно, рассматриваемая функция f(x1,x2,…,xn) имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстреммы, следует искать лишь среди стационарных точек. Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные равны нулю). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к «подозрительным» по экстремуму, наряду со стационарными.

Иногда дается и не прибегая к достаточным условиям выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непременно следует, что рассматриваемая функция имеет где-то максимум или минимум и при этом системе уравнений (5.1) удовлетворяет только одна точка, то ясно, что эта точка и будет искомой точкой экстремума функции.

Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуюя, например, острия поверхности – графика функции).

5.2.Достаточные условия экстремума.

Так же как и для функции одной переменной, необходимый признак экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это значит, что из равенства нулю частных производных в данной точке вовсе не следует, что этаточка обязательно является точкой эксремума.

Достаточные условия экстремума для функций нескольких переменных носит значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной.

Похожие работы