Читать диплом по математике: "МНОГОЧЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ И ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ" Страница 3

назад (Назад)скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

помноженную предварительно на qі1(λ) (i = 2, …, m), а из j-го столбца - первый, предварительно помноженный на q1ј(λ) (j = 2, …, n), мы приведем нашу матрицу к виду

а11(λ)0…0

0а22(λ) … а2n(λ)

….…………………….

0аm2(λ) … аmn(λ)

Если при этом хотя бы один из элементов аіј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n) не делится без остатка на а11(λ), то, прибавляя к первому столбцу тот столбец, который содержит этот элемент, мы придем к предыдущему случаю и, следовательно, снова сможем заменить элемент а11(λ) многочленом меньшей степени.

Поскольку первоначальный элемент а11(λ) имел определенную степень и процесс уменьшения этой степени не может неограниченно продолжаться, то после конечного числа элементарных операций мы должны получить матрицу вида

а1(λ)0…0

(*)0b22(λ) … b 2n(λ)

….……………………,

0bm2 (λ) …bmn (λ)

в которой все элементы bіј(λ) делятся без остатка на а1(λ). Если среди этих элементов bіј(λ) имеются не равные тождественно нулю, то продолжая тот же процесс приведения для строк с номерами 2, …, m и столбцов с номерами 2, …, n, мы матрицу (*) приведем к виду а1 (λ)00 … 0

0а2(λ)0 … 0

00с33(λ) … с3n(λ),

…………………………

    0сm3(λ) … сmn(λ)

где а2(λ) делится без остатка на а1(λ), а все многочлены сіј(λ) делятся без остатка на а2(λ). Продолжая этот процесс далее, мы в конце концов придем к матрице вида

а1(λ)0 … 00 … 0

0а2(λ)… 00 … 0

…....…………………..

00 …аs(λ)0 … 0,

00 … 00 … 0

………………………..

00 … 00 … 0 где многочлены а1(λ), а2(λ), …, аs(λ) (s ≤ m, n) не равны тождественно нулю и каждый из них делится на предыдущий без остатка.

Помножая первые s строк на соответствующие отличные от нуля числовые множители, мы сможем добиться того, чтобы старшие коэффициенты многочленов а1(λ), а2(λ), …, аs(λ) были равны единице.

Таким образом мы доказали, что произвольная прямоугольная многочленная матрица А(λ) эквивалентна некоторой канонической диагональной.

Данная теорема утверждает, что каждый класс эквивалентных матриц содержит, по меньшей мере, одну матрицу, имеющую каноническую диагональную форму.

Пример

Найти каноническую форму и инвариантные множители -матрицы

-1-1-2

3+-13+-1

А() =+1 3++2 +13+2+3

-1 -3-3-6

Третий столбец вычитаем из остальных: 1 0-1-1

1 3+1-13

А() 0 3+1+13++2

2 0-3--3

(из второй и четвертой строк вычитаем первую, умноженную соответственно на 1 и 2) 1 0-1-1

0 3+103+1

0 3+1+13++2

0 0--1--1 (из III и IV столбцов вычитаем I, умноженный соответственно на -1 и -1) 1 000

0 3+103+1

0 3+1+13++2

0 0--1--1 (II и III столбцы вычитаем из IV) 1 000

0 3+100

0 3+1+10

0 0--10 (из III строки вычитаем II и полученную строку прибавляем к IV) 1 000

0 3+100

0 0+10

0 000 (переставляем II и III строки, а также второй и третий столбцы)1 000

0 +100

0 03+10.

0 000 Это каноническая матрица; значит матрица А() имеет инвариантные множители: Е1()=1, Е2()=+1, Е3()=3+1, Е4()=0. §3. Наибольшие общие делители миноров Пусть F - какая-нибудь λ-матрица порядка n. Составим ее всевозможные миноры порядка к (к = 1, 2, …, n). Эти миноры являются многочленами от λ. Обозначим их наибольший общий делитель через Dк(λ) (наибольшим общим делителем мы условимся называть общий делитель наивысшей степени со старшим коэффициентом 1. Поэтому все не равные нулю многочлены Dк(λ) имеют старший коэффициент 1). Если окажется, что все миноры к-го порядкаравны нулю, то по определению будем


Интересная статья: Основы написания курсовой работы