Читать диплом по математике: "МНОГОЧЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ И ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

Совершенно аналогично определяются правые элементарные операции над многочленной матрицей (эти операции производятся не над строками, а над столбцами) и соответствующие им матрицы порядка n:101010

Т' = с(i),Т" =1………….(i), Т"' =0…1……….(i)b(λ)……….(j)1…0……….(j) .

010101 В результате применения правой элементарной операции матрица А(λ) умножается справа на соответствующую матрицу Т.

Заметим, что матрица Т' совпадает с матрицей S', а матрицы Т", Т"' совпадают с матрицами S", S"', если в последних поменять местами индексы i и j. Матрицы типа S', S", S"' (или, что то же, типа Т', Т", Т"') называются элементарными.

Две λ-матрицы А(λ) и B(λ) одинаковых размеров m x n называются эквивалентными, А(λ) ~ B(λ), если от матрицы А(λ) к B(λ) можно перейти при помощи цепочки из конечного числа элементарных преобразований. Отношение эквивалентности обладает тремя основными свойствами:

рефлексивность: каждая матрица эквивалентна сама себе А(λ) ~ B(λ); симметрия: если А(λ) ~ B(λ), то B(λ) ~ А(λ); транзитивность: если А(λ) ~ B(λ), и B(λ) ~ С(λ), то А(λ) ~ С(λ).

§2. Канонический вид λ-матрицы Выше было показано, что отношение эквивалентности транзитивно, симметрично и рефлексивно. Отсюда следует, что совокупность всехλ-матриц данных размеров m x n разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных матриц, т.е. на такие классы, что любые две матрицы из одного класса эквивалентны, а из разных классов - не эквивалентны между собой. Возникает вопрос о канонической форме λ-матрицы, характеризующей данный класс эквивалентных λ-матриц.

Канонической диагональной λ-матрицей размеров m x n называетсяλ-матрица, у которой на главной диагонали стоят многочлены Е1(λ), Е2(λ), …, Ер(λ), где р - меньшее из чисел m и n, причем не равные нулю среди этих многочленов имеют старшие коэффициенты, равные единице, и каждый следующий многочлен делится на предыдущий, все же элементы вне главной диагонали равны нулю.

Т е о р е м а 1. Всякая λ-матрица конечным числом элементарных преобразований может быть приведена к канонической диагональной форме.

Доказательство. Пусть А(λ) - прямоугольная многочленная матрица. Применяя к А(λ) как левые, так и правые элементарные операции приведем к канонической диагональной форме.

Среди всех не равных нулю элементов аіј(λ) матрицы А(λ) возьмем тот элемент, который имеет наименьшую степень относительно λ, и путем соответствующей перестановки строк и столбцов сделаем его элементома11(λ). После этого найдем частные и остатки от деления многочленоваі1(λ) и а1ј(λ) на а11(λ):

аі1(λ) = а11(λ) qі1(λ) + rі1 (λ), а1ј(λ) = а11(λ) q1ј(λ) + r1ј(λ)

(i = 2, 3, …, m; j = 2, 3, …, n). Если хотя бы один из остатков rі1(λ), r1ј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n), например r1ј (λ), не равен тождественно нулю, то, вычитая из j-го столбца первый столбец, предварительно помноженный на q1ј(λ), мы заменим элемент а1ј(λ) остатком r1ј(λ), который имеет меньшую степень, нежелиа11(λ). Тогда мы имеем возможность снова уменьшить степень элемента, стоящего в левом верхнем углу матрицы, поместив на это место элемент с наименьшей степенью относительно λ.

Если же все остатки r21(λ), … rm1(λ); r12(λ), …, r1n(λ) равны тождественно нулю, то, вычитая из i-ой строки первую,

Похожие работы