Читать диплом по физике: "Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Прусаков Д. В. «Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области» 1998- 99 уч. г.15Введение 31.Постановка задачи 3 2. Оценочный анализ решения задачи. 4 2.1. Оценка решения сверху. 4 2.2. Оценка решения в виде интеграла 5 2.3. Выбор интервала ( ) и оценка погрешности 93. Формулировка результата в виде теоремы 114. Примеры 12Заключение 13СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 14

В ряде случаев оказывается невозможным или неприемлемым получение аналитического решения поставленной задачи. Использование основных теорем и положений анализа позволяет получить качественную картину поведения функции решения в заданной области, оценить скорость сходимости решения. Такой подход широко реализуется в областях техники, где получение результата необходимо с заданной точностью.

В дипломной работе рассматривается задача:

(З) 0.

t

x

Требуется привести пример оценки решения задачи (З) в области, и исследовать полученную оценку при

Оценка решения задачи (З) основывается на принципе максимума для уравнения теплопроводности : «Всякое решение уравненияв прямоугольнике , непрерывное вплоть до границы, принимает свои наибольшее и наименьшее значения на нижних или на боковых его границах» [2].

В области t=t , x= рассмотрим решение задачи : , V(0,x) = ( x ), x ,(1)

это решение имеет вид [1]:

v (t, x) = .(2)Зафиксируем некоторое и перейдем к исходной системе координат, тогда (2) в системе t=t, x= будет выглядеть так:

V(t, x) =(2’)

Из принципа максимума [2] заключаем, что: U( t, x )V( t, x ).(3) Таким образом задача сводится к оценке интеграла (2).

Разобьем интервал < xна две части и, тогда интеграл (2’) запишется в виде:

V( t, x ) = .(*) Исследуем знак подинтегрального выражения, принимая во внимание, то что :;(а) ;; где.После проведенного исследования видно, чтоИспользовав известное разложение ,

где Z 0, , заменим экспоненты во втором интеграле рядами: (а) ;

(б) .

В результате получим :

Здесь: , ,(4.1) , .(4.2) Запишем неравенство (3) в виде, принимая во внимание только одно слагаемое суммы ряда:m=1,

U(t, x).(5)

Выше приведенная оценка не отражает качественной картины и может быть использована при дальнейших исследованиях задач подобного вида. ( т .к .фиксированно)

Рассмотрим другую возможность оценки неравенства (3).

пусть

(т.е. финитна), в соответствии с принципом максимума:,(3’)

при

где W- решение краевой задачи (З) с начальными условиями:

Аналогично, как и выше

здесь:

Таким образом,

(используем разложение в ряд Тейлора)В итоге,

(5.1)

Рассмотрим два случая:

а) Пусть

,

тогда в правой части неравенства (5.1) третье и четвертое (3,4) слагаемые стремятся к нулю быстрее любой степени ,

поэтому (5.1) можно переписать как:

(5.2)

б) Пусть тогда:

где

В результате получаем:

(5.3)

Зададим произвольно некоторую константу >0,

Похожие работы