Читать диплом по математике: "Ряды Фурье и их приложения 2" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для данной функции f(x) на заданном промежутке такой ряд (1),который сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на этом промежутке функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд.

Ряд (1) сходится в некоторой точке х0, в силу периодичности функций[pic] (n=1,2,..), он окажется сходящимся и во всех точках вида [pic] (m- любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области сходимости ряда) периодической функцией: если Sn(x) – n-я частичная сумма этого ряда, то имеем

[pic] [pic]

а потому и [pic][pic], т. е. S(x0+T)=S(x0). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции f(x) в ряд вида (1), будем предполагать f(x) периодической функцией.

2. Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье.

Пусть периодическая функция f(х) с периодом 2? такая, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале (-?, ?), т. е. является суммой этого ряда:

f(x)=[pic]. (2)

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов этого ряда. Это будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т. е.. сходится положительный числовой ряд

[pic] (3)

Ряд (1) мажорируем и его можно почленно интегрировать в промежутке (-?,?). Проинтегрируем обе части равенства (2):

[pic].

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части:

[pic],

[pic],

[pic].

Таким образом, [pic], откуда

[pic]. (4)

Оценка коэффициентов Фурье. (Бугров)

Теорема 1. Пусть функция f(x) периода 2? имеет непрерывную производную f(s)(x) порядка s, удовлетворяющей на всей действительной оси неравенству:

| f(s)(x)|? Ms; (5)

тогда коэффициенты Фурье функции f удовлетворяют неравенству

[pic] (6)

Доказательство. Интегрируя по частям и учитывая, что

f(-?) = f(?), имеем

[pic]

Поэтому

[pic]

Интегрируя правую часть (7) последовательно, учитывая, что производные f?, …, f(s-1) непрерывны и принимают одинаковые значения в точках t = -? и t = ?, а также оценку (5), получим первую оценку (6).

Вторая оценка (6) получается подобным образом.

Теорема 2. Для коэффициентов Фурье f(x) имеет место неравенство

[pic] (8)

Доказательство. Имеем

[pic] (9)

Вводя в данном случае замену переменной [pic] и учитывая, что f(x) – периодическая функция, получим

[pic]

Складывая (9) и (10), получаем

[pic]

Отсюда

[pic]

Аналогичным образом проводим доказательство для bk.

Следствие. Если функция f(x) непрерывна, то её коэффициенты Фурье стремятся к нулю: ak > 0, bk > 0, k > ?.

Пространство функций со скалярным произведением.

Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, может быть, конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода. Такие точки можно складывать и умножать на действительные числа и получать как результат снова кусочно- непрерывные на

Похожие работы