- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- . . .
- последняя »
больше по мощности множества натуральных чисел, Кантор обозначил его мощность новым символом – с. Возник вопрос – существует ли множество промежуточной мощности (утверждение о том, что такого множества не существует, носит название континуум гипотезы). В последствии было доказано, что в системе аксиом Цермело – Френкеля утверждение о существовании промежуточной мощности не может быть ни доказано, ни опровергнуто.
Когда Кантор в 70-х годах 19 века приступил к созданию теории бесконечных множеств и еще много лет спустя, эта теория находилась на периферии математической науки. Но к началу 20 века канторовская теория множеств нашла широкое применение во многих областях математики. Кантор и Рихард Дедекинд понимали, сколь важна теория множеств для обоснования теории целых чисел, для анализа понятий линии и размерности и даже для обоснований математики. Другие математики, в частности Эмиль Борель и Анри Леон Лебег, к тому времени уже работали над обобщением интеграла, в основу которого была положена канторовская теория множеств. Поэтому, когда сам Кантор обнаружил, что его теория множеств сопряжена с определенными трудностями, это было далеко немаловажным событием. Кантор дал несколько словесных определений множества, но эти определения не отличались строгостью, и теорию множеств в том виде, как ее изложил Кантор, нередко называют наивной. По мнению многих ученых, тщательный подбор аксиоматической основы должен был избавить теорию множеств от многих проблем и противоречий [8; 135].
Приступая к построению математики на основе теории множеств, можно выбрать ту или иную из возможных исходных позиций. Можно запретить использование гипотезы континуума, но это существенно ограничит круг теорем, доказываемых в рамках системы. Можно поступить иначе и включить в систему аксиом гипотезу континуума или ее отрицание. При этом неизвестно, к каким важным следствиям может привести отрицание гипотезы континуума. Сказанное означает, что существует не одна, а много математик. Теория множеств (рассматриваемая отдельно от остальных оснований математики) может развиваться во многих направлениях. Остановить свой выбор на одном из направлений нелегко, так как в любом случае принятие определенной редакции аксиом имеет свои положительные и отрицательные стороны.§ 2. Счетные множества Определение 1. Пусть А и В два множества. Правило, которое каждому элементу а множества А соотносит один и только один элемент множества В, причем каждый элемент оказывается соотнесенным одному и только одному элементу , называется взаимнооднозначным соответствием между множествами А и В.
В этом случае множества А и В называются эквивалентными или же говорят, что эти множества имеют одинаковую мощность. Обозначение Определение 2. Пусть множество всех натуральных чисел. Всякое множество А, эквивалентное множеству , называется исчислимым, или счетным, или короче имеет мощность .
Теорема 1. Для того чтобы множество А было счетным, необходимо и достаточно, чтобы его можно было перенумеровать, т.е. представить в форме последовательности Теорема 2. Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество.
Теорема 3. Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно.
Следствие 1. Если из счетного множества А удалить
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- . . .
- последняя »
Похожие работы
Тема: О показателе степени некоторых числовых равенств |
Предмет/Тип: Математика (Статья) |
Тема: О некоторых проблемных вопросах налогового законодательства, некомпетентности и зловредности некоторых юристов |
Предмет/Тип: Основы права (Реферат) |
Тема: О некоторых проблемных вопросах налогового законодательства, некомпетентности и зловредности некоторых юристов |
Предмет/Тип: Основы права (Реферат) |
Тема: Теория множеств |
Предмет/Тип: Философия (Доклад) |
Тема: О категории множеств |
Предмет/Тип: Математика (Диплом) |
Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы