Читать диплом по математике: "Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники. (0.2)Имеется много работ, в которых динамические системы изучались в предположении, что их частными интегралами являются алгебраические кривые. Толчком к большинству из них послужила работа Н.П. Еругина [6, с.659 - 670], в которой он дал способ построения систем дифференциальных уравнений, имеющих в качестве своего частного интеграла кривую заданного вида.Знание одного частного алгебраического интеграла системы (0.1) во многих случаях помогает построить полную качественную картину поведения интегральных кривых в целом. Отметим ряд работ этого характера для систем (0.1), в которых P (x,y) и Q (x,y) - полиномы второй степени.Н.Н. Баутиным [1, с.181 - 196] и Н.Н. Серебряковой [8, с.160 - 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с.732 - 735] Л.А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А.И. [11, с.1752 - 1760] и Филипцов В.Ф. [9, с.469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.В данной работе рассматривается система (0.3)и проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что частным интегралом является кривая четвертого порядка, которая распадается на две кривые второго порядка, одна из которых парабола, вторая окружность или гипербола.Работа состоит из двух глав.В первой главе проводится построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами, при этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.Во второй главе проводится качественное исследование в целом выделенных в первой главе классов систем при фиксированных значениях некоторых параметров.

1. Построение квадратичных двумерных стационарных систем 1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде параболы

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (1.1)Пусть система (1.1) имеет частный интеграл вида:, (1.2)где Fk (x,y) - однородные полиномы от x и y степени k.В качестве частного интеграла (1.2) возьмем параболу вида:F (x,y)  y+1 x2 +2 x+3 = 0 (1.3)Будем предполагать, что 3  0, то есть парабола не проходит через начало координат.Согласно [10, с.1752-1760] для интеграла (1.3) системы (1.1) имеет место соотношение:, (1.4)где L (x,y) = px+my+n, p, m, n - постоянные.Тогда следуя формуле (1.4) получим равенство:(21x+2) (ax+by+a1x2+2b1xy+c1y2) + (cx+dy+a2x2+2b2xy+c2y2) = = (y+1x2+2x+3) (px+my+n).Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях xm yn слева и справа, получим равенства:(2a1-p) 1= 0 (1.51)(4b1-m) 1= 0 (1.52)21c1= 0 (1.53)(2a-n) 1+ (a1-p) 2+a2= 0 (1.61)21b+ (2b1-m) 2+2b2+p= 0 (1.62)2c1+c2-m= 0 (1.63)(a-n) 2-p3n+c= 0 (1.71)2b-3m+d-n= 0 (1.72)3n= 0 (1.73)Пусть 1 0, тогда из равенств (1.51), (1.52), (1.53), (1.63) и (1.73) получаем, чтоP=2a1, m=4b1, c1=0, c2=4b1, n=0 (1.8)Из соотношений (1.61), (1.62) и (1.71) найдем выражения коэффициентов кривой (1.3) через коэффициенты системы (1.1) в следующем виде:1, (1.9)2, (1.10)3. (1.11)Равенство (1.72) с учетом полученных выражений (1.9) - (1.11), даст условие, связывающее коэффициенты a, b, c, d, a1, a2, b1, b2: (1.12)Итак,