Читать диплом по математике: "Редуцированные полукольца" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Министерство Образования Российской Федерации Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

«Редуцированные полукольца»

математического факультета \Подпись\ ____________

Научный руководитель:

К.физ.-мат. наук

.

\Подпись\ ____________

Рецензент:

Д. физ.-мат. наук, профессор

.

\Подпись\ ____________

Допущен к защите в ГАК

Зав. кафедрой ___________________.«___»________________

Декан факультета _______________.

«___»________________

Киров, 2003.

План.

Введение. Основные понятия, леммы и предложения. Доказательство основной теоремы.

1.Введение

Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

(S, +) коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0; (S, ) полугруппа с нейтральным элементом 1; умножение дистрибутивно относительно сложения:

a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc

для любых a, b, c S;

0a = 0 = a0 для любого a S.

Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.

В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.

Определение 2. Полукольцо S называется редуцированным, если для любых a, bS выполняется a = b, как только a+ b= ab + ba.

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

S слабо риккартово; a, bS (D(a)D(b)= =); все идеалы Op, PSpec S, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты); все идеалы OM, M Max S, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P M Op=OM для P Spec S и M Max S; каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал; a, b S (ab = 0 Ann a + Ann b = S);

Определение 3. Полукольцо S называется симметрическим, если для любых элементов a, b, b, c S выполняется

abc = abc acb = acb.

Определение 4. Элемент aS называется нильпотентным, если в последовательности a, a, a,…, a, … встретится нуль.

Предложение 1. Редуцированное полукольцо S является симметрическим полукольцом без нильпотентов.

Доказательство: Пусть ab = ab. Тогда

baba = baba иbaba = baba,

откуда

baba + baba = baba + baba

или иначе

(ba)+ (ba)= baba + baba.

В силу редуцированности ba = ba, т.е.

ab = ab ba = ba.(1)

Аналогично доказывается ba = ba ab = ab.

Пусть ab = ab. Тогда с помощью (1) ba = ba, откуда bac = bacиacb = acb. Значит, имеем:

ab = ab acb = acb, ba = ba bca = bca.(2)

Пусть сейчас abc = abc. Тогда

abc = abc acbc = acbc acbac = acbac acbacb = acbacb и

acbacb = acbacb (acb)+ (acb)= acbacb + acbacb acb = acb.

Таким же образом доказывается другая импликация.

Пусть a+ b= ab + ba влечёт a = b. При b = 0 получаем a= 0 a = 0. Если с= 0 для некоторого натурального n 2, то c= 0 для kс условием n 2. Получаем, что c= 0, и так далее. На некотором шаге получим c= 0, откуда с = 0. Предложение доказано. Пример. Рассмотрим полукольцо S = {0, a, b, 1},

Похожие работы