Читать диплом по педагогике: "Расширение кольца с помощью полутела" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

Справедливы следующие утверждения.

1. Любое полукольцо S является 0-расширением кольца, изоморфного R(S), с помощью положительно упорядоченного полукольца [1]

2. Полукольцо S с 1 изоморфно прямому произведению кольца и антикольца тогда и только тогда, когда его идеал R(S) имеет единичный элемент, коммутирующий с каждым элементом из S [1].

3. Полукольцо S служит 0-расширением кольца с помощью полутела тогда и только тогда, когда идеал R(S) полульца S простой (т.е. abR(S) влечет aR(S) или bR(S)).

4. Для полукольца S с 1 фактор-полукольцо S/R(S) является полутелом с нулем тогда и только, когда R(S) есть максимальный односторонний идеал в S.

В качестве следствия утверждений 2 и 4 очевидным образом формулируется критерий разложимости полукольца с 1 в прямое произведение кольца и полутела с нулем. Отметим также, что подпрямые произведения кольца и ограниченной дистрибутивной решетки абстрактно охарактеризованы в [3].

5. Для существования 1-расширения полукольца K, возможно не имеющего нуля, с помощью полукольца T необходимо и достаточно, чтобы K имело 1, а T было идемпотентным полукольцом с 1.

6. Любое arp-полукольцо S является 1-расширением полутела U(S) с помощью ограниченной дистрибутивной решетки S/, где - конгруэнция на S, такая, что ab означает aU(S)=bU(S). Для коммутативных полуколец верно и обратное утверждение. См. [2].

7. Всякое полутело является 1-расширением сократимого полутела с помощью идемпотентного полутела [4].Полукольцо S с 1 назовем 0-1-расширением полукольца K и полукольца без нуля L с помощью полукольца T, если на S существует такая конгруэнция , что [0]ρK, [1]L и S/T.Пусть для кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела U с помощью решетки L. Соответствующую тройку будем называть допустимой.§1. Допустимые кольца и решётки

Речь в главе пойдёт о решётке и кольце, состоящих в допустимой тройке.

Обозначим через D двухэлементную цепь.

Пусть имеется полукольцо S с конгруэнцией , для которой [0]R, [1]P, F/D. Такое полукольцо S назовем дизъюнктным объединением кольца R и полутела P, и обозначим PR. Ясно, что pP,rR,prR,p+rP.

С другой стороны, если любой элемент полукольца S с 1 либо обратим, либо имеет противоположный элемент, то S будет дизъюнктным объединением кольца R(S) и полутела U(S). При этом разбиение {R(S), U(S)} индуцирует искомую конгруэнцию на S.

Предложение. В UR справедливы следующие утверждения а) аддитивная группа R делимая абелева группа. б) результат умноженияопределён единственным образом. Доказательство. а) Пусть , тогда ,ч.т.д.

б) Пусть мультипликативная операция задана. Если , то . Умножив равенство насправа, получим , значит . Рассмотрим результат умножения , пусть . Тогда , поэтомуесть элемент, складывая которыйраз получим . Из ранее доказанного следует, что такой элемент единственен, что завершает доказательство.есть решение уравненияв кольце . Теорема 1. Для произвольного кольца R эквивалентны следующие условия:

существует допустимая тройка R, U, L, где L – любая дистрибутивная решетка с 10; существует полукольцо, являющееся дизъюнктным объединением кольца R и полутела U; R – радикальное по Джекобсону кольцо, аддитивная группа которого есть делимая

Похожие работы