Читать диплом по математике: "Обобщённо булевы решетки" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

(Для , , интервал |; для , можно так же определить полуоткрытый интервал |). ТЕОРЕМА 1.3. (О единственности относительного дополнения в обобщённо булевой решётке). Каждый элемент обобщённо булевой решётки L имеет только одно относительное дополнение на промежутке.

Доказательство. Пусть для элементасуществует два относительных дополненияина интервале . Покажем, что . Так какотносительное дополнение элементана промежутке , тои , так жеотносительное дополнение элементана промежутке , тои .

Отсюда

,

таким образом , т.е. любой элемент обобщённой булевой решётки имеет на промежутке только одно относительное дополнение.Решётка L называется булевой, если для любого элементаиз L существует дополнение, т.е. такой элементиз L, чтои

ТЕОРЕМА 1.4. (О единственности дополнения в булевой решётке). Каждый элемент булевой решётки L имеет только одно дополнение.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.3.ТЕОРЕМА 1.5. (О связи обобщённо булевых и булевых решёток).

Любая булева решётка является обобщённо булевой, обратное утверждение не верно.

Доказательство. Действительно, рассмотрим произвольную булеву решётку L. Возьмём элементы a и d из L, такие что . Заметим, что относительным дополнением элемента a до элемента d является элемент , где a’ – дополнение элемента a в булевой решётке L. Действительно, , кроме того . Отсюда следует, что решётка L является обобщённо булевой.

Подрешётка I решётки L называется идеалом, если для любых элементовиэлементлежит в I. Идеал I называется собственным, если . Собственный идеал решётки L называется простым, если из того, чтоиследуетили .

Так как непустое пересечение любого числа идеалов снова будет идеалом, то мы можем определить идеал, порождённый множеством H в решётке L, предполагая, что H не совпадает с пустым множеством. Идеал, порождённый множеством H будет обозначаться через (H]. Если , то вместобудем писатьи называтьглавным идеалом.

ТЕОРЕМА 1.5. Пусть L – решётка, а H и I – непустые подмножества в L, тогда I является идеалом тогда и только тогда, когда если , то , и если , то .

Доказательство. Пусть I – идеал, тогдавлечёт за собой , так как I – подрешётка. Если , тои условия теоремы проверены.

Обратно, пусть I удовлетворяет этим условиям и . Тогдаи так как , то , следовательно, I – подрешётка. Наконец, еслии , то , значит,и I является идеалом.

Отношение эквивалентности (т.е. рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение)на решётке L называется конгруэнцией на L, еслиисовместно влекут за собойи(свойство стабильности). Простейшими примерами являются ω, ι, определённые так:

(ω); (ι) для всех .

Дляобозначим черезсмежный класс, содержащий элемент , т.е. |

Пусть L – произвольная решётка и . Наименьшую конгруэнцию, такую, чтодля всех , обозначим черези назовём конгруэнцией, порождённой множеством .

ЛЕММА 2.1. Конгруэнция существует для любого .

Доказательство. Действительно, пусть Ф = | для всех . Так как пересечение в решёткесовпадает с теоретико-множественным пересечением, тодля всех .

Похожие работы