Читать диплом по педагогике: "Восьмиэлементные ассоциативные кольца" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вятский Государственный Гуманитарный УниверситетМатематический факультетКафедра алгебры и геометрииВыпускная квалификационная работаВосьмиэлементные ассоциативные кольца Выполнил: студент V курса математического факультета Касьянов А.А.

_________________________ Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедры алгебры и геометрии

Вечтомов Е.М.

_________________________ Рецензент: к.ф.-м.н., доцент

Чермных В.В.

_________________________ Допущен к защите в ГАК Зав. кафедрой________________Вечтомов Е.М.

«»___________ Декан факультета_____________Варанкина В.И.

«»___________Киров 2005

Содержание

Введение. 3

§1. Абелевы группы по сложению. 5

§2. Кольца, образованные аддитивной группой . 8

§3. Кольца, образованные аддитивной группой . 10

Библиографический список. 11

Приложение 12

Введение

Понятие кольца появилось в математике в конце XIX века. Первыми примерами ассоциативных колец были числовые кольца, т.е. подкольца поля комплексных чисел и кольца классов вычетов целых чисел. Как самостоятельная область алгебры, теория ассоциативных колец оформилась к началу XX века. Из этой теории выделились в самостоятельные области алгебры теории коммутативных колец, тел, алгебр.

Дадим основные понятия, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.

Аддитивной абелевой группойназывается алгебра с бинарной операцией + (сложение), удовлетворяющей следующим аксиомам:

сложение ассоциативно, т.е. ; в G существует нейтральный элемент 0 (ноль) такой, что ; в G для любого элемента существует противоположный элемент, т.е. ; Сложение коммутативно: ;

Мультипликативной полугруппойназывается алгебра с бинарной операцией(умножение), удовлетворяющая закону ассоциативности: ; (в дальнейшем мы будем писать ab, и иметь ввиду произведение элементов a и b в G.

Кольцом называется алгебрас двумя бинарными операциями сложения и умножения, которые удовлетворяют следующим условиям:

относительно сложения кольцо является абелевой группой; относительно умножения – это полугруппа; выполняются законы дистрибутивности:и ;

Данная дипломная работа представляет собой изложение методики изучения определенных конечных алгебр. В настоящее время изучение конечных алгебр производится с помощью компьютера. Задача данной дипломной работы состоит в отыскании всех восьмиэлементных ассоциативных колец. Для этого мы сначала находим все абелевы группы из восьми элементов, а затем для каждой такой группы строим соответствующие полугруппы по умножению, и получаем искомые кольца.

Всего абелевых групп по сложению, с точностью до изоморфизма, будет три: , , и . Для группы , кольца находятся вручную. Для нахождения колец по остальным двум группам нужно использовать компьютер, так как количество всевозможных полугрупп по умножению будет велико и, соответственно, отбор восьмиэлементных колец без привлечения вычислительной машины займет очень много времени.

В результате получаем, что всего существует с точностью до изоморфизма 392 восьмиэлиментных кольца.

Для работы с абелевыми группами и полугруппами по умножению, а также для представления их в компьютере, будем

Похожие работы