Читать реферат по математике: "Матриці однокрокових імовірностей переходу. Однорідні ланцюги Маркова" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

РЕФЕРАТ

На тему:

Матриці однокрокових імовірностей переходу. Однорідні ланцюги Маркова

Перехід системи зі станудо стану , який може відбуватися з певною ймовірністю в момент часу t, позначається які називається умовною ймовірністю переходу.

Повна ймовірнісна картина всіх можливих переходів системи, яка має N станів, подається у вигляді квадратної матриці:

(14)

яку називають імовірнісною матрицею переходів. При цьому

(15)

,

оскільки ці випадкові події (перехід системи з фіксованого станудо будь-якого можливого стануутворюють повну групу. Враховуючи те, що моменти часу переходу системиназвано кроками, умовні ймовірності переходу на k-му кроці позначають і називають перехідними ймовірностями марковського ланцюга.

Величина є умовна ймовірність того, що на k-му кроці система перебувала у станіі в цьому самому стані вона й залишиться.

Перехідні ймовірності можна записати такою квадратною матрицею:

. (16)

(17)

.

Матриці, які мають властивості (16) і (17), називають стохастичними.

Ланцюг Маркова називають однорідним, якщотобто перехідні ймовірності не залежать від кроку k.

Матриця перехідних імовірностей для однорідних ланцюгів Маркова подається у вигляді

. (18)

Матриці (16) і (18) називають матрицями однокрокового переходу системи.

Приклад 3. У певному містечку діють три супермаркети які конкурують між собою. Фірма з вивчення ринку зібрала й обробила інформацію за 5 місяців про частку (у відсотках) покупців, які користуються послугами цих супермаркетів. Було з’ясовано, що магазинзберіг 80% своїх покупців, придбавши водночас 10% покупців магазинуі 2% — магазину магазинзберіг 70% своїх покупців і придбав 8% покупців магазинуі 14% — магазину магазин зберіг 90% своїх покупців і при цьому придбав 6% покупців магазину і 20% — магазину

Побудувати ймовірнісну матрицю переходів покупців за один крок.

Розв’язання. Матриця однокрокового переходу для цієї системи подається у вигляді

.

Як бачимо, виконується умова стохастичної матриці для кожного її рядка. І справді, магазинзберіг 80% своїх покупців, а водночас втратив 20%, із яких 14% вибрали магазині 6% — магазин аналогічно зберіг 70% своїх покупців і втратив 30% покупців, із них 10% вибрали магазині 20% — магазин і магазинзберіг 90% своїх покупців, втративши при цьому 10%, із яких 2% вибрали магазині 8% —Імовірнісні графи

Для наочності стани марковських ланцюгів та ймовірності переходу системи з одного стану до іншого зручно подавати ймовірнісними графами.

У загальному випадку графи зображаються вершинами, які розміщуються на площині в певному порядку, і лініями, що сполучають вершини, — так званими ребрами. Вершина графа інформує про стан, в якому може перебувати система, а ребро графа, що сполучає дві вершини, вказує на той стан, до якого може перейти система з певною ймовірністю.

Приклад 4. За заданою матрицею однокрокового переходу системи

побудувати ймовірнісний граф.

Розв’язання. За заданою матрицею  з’ясовуємо, що система може перебувати з певною ймовірністю в одному з несумісних чотирьох станів які у структурі графа будуть вершинами. Відповідні ймовірності переходу такі:

Імовірнісний граф з

Похожие работы