(Назад)
(Cкачать работу)клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их решения к геометрическим построениям. Приёмы решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский (III в.). В дошедших до нас 6 из 13 книг «Арифметика» содержатся задачи с решениями, в которых Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное, чтобы получить решение уравнения вида ах=b илиСпособ решения полных квадратных уравнений не сохранились.
Правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду , где >0, дал индийский учёный Брахмагупта (VII в.). В трактате «Китаб аль-джебр Валь-мукабала» хорезмский математик аль-Хорезми разъясняет приёмы уравнений вида ,(буквами а,b и с обозначены лишь положительные числа, так как отрицательных чисел тогда не признавали) и отыскивает только положительные корни.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду , было сформулировано немецким математиком М.Штифелем (1487-1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Однако своё утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал). После трудов нидерландского математика А.Жирара (1595-1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.
Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591г. Для квадратного уравнения
теорема Виета в современных обозначениях выглядела так:
корнями уравнения (а+b) являются числа а и b.
2. Определение квадратного уравнения, его виды.
Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида
ax2 + bx + c = 0,
где х – переменная, а, b и с– некоторые числа, причем, а ≠ 0.
Числа а, b и с - коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b– вторым коэффициентом и число c – свободным членом.
● Пример.
8x2 – 7x + 3 =0
В каждом из уравнений вида ax2 + bx + c = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной x – квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение. Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х2 равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.
● Пример.
х2 – 11х+30=0,х2 –8х=0. Если в квадратном уравнении ах2 + bx + c = 0, один из коэффициентов
b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ах2 + с = 0, где с ≠ 0;
2) ах2 + bх = 0, где b ≠ 0;
3) ах2 = 0.
● Пример.
– 2х2 + 7 = 0, b= 0;
3х2 – 10х = 0, с = 0;
– 4х2= 0, b= 0; c= 0.
3.Способы решения неполных квадратных уравнений.
1.Для решения неполного квадратного уравнения вида ах2 + с = 0 при с ≠ 0 переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения
на а. Получается уравнение
х2 = –,
равносильное уравнению ах2 + с = 0.
Так как с ≠ 0, то – ≠ 0.
Если – > 0, то уравнение имеет два корня:
х= –их=.
Если – 0, то уравнение имеет два корня:
х=и х= .
Пример. Рассмотрим уравнение 2x2 –3x + 1= 0.
а=2; b= –3; с=1,
D= b– 4ас =(–3)– 4ас= 9–8= 1; 2 корня.
х==== 0,5
х==== 1
Ответ: 0,5;1
Если D= 0, то уравнение имеет один корень:
х = –.
Пример. Рассмотрим уравнение 9х2 +6х+1= 0.
а=9; b= 6; с=1,
D= b– 4ас=6–
Похожие работы
Интересная статья: Основы написания курсовой работы