Читать реферат по математике: "Анализ обобщенных функций" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Анализ обобщенных функций Введение Существуют многие физические модели, которые в терминах обычных функций не могут быть описаны. Например, распределение зарядов вдоль прямой удобно задать плотностью этого распределения. Однако, если на прямой существуют точки, несущие заряды, то плотность такого распределения не может быть описана "обычной" функцией. Другой пример связан с определением производной в точках разрыва функции, когда эта операция носит в выкладках промежуточный характер.

Определение. Основное пространство Km состоит из действительных функций (t), называемыми основными функциями, имеющими непрерывные производные до порядка m включительно, равными нулю вместе со всеми производными вне конечного интервала. Пространство Km является линейным.

Пример. Рассмотрим функцию график которой приведен ниже 1 a (a+b)/2 b t Эта функция принадлежит основному пространству Ko, так как не существуют производные в точках t = a и t = b. Функция (график смотри ниже)

принадлежит пространству Km. 1 a (a+b)/2 b t Если положить m = для основного пространства Km, то полученное основное пространство обозначается К. Пусть тогда, как легко проверить, (t) K. 1.Обобщенные функции Определение. Обобщенной функцией f (t) (заданной на прямой (- < t a и для нее справедливо соотношение

Если то

где f(+0) – скачок функции f(t) в начале координат. Обратное преобразование Лапласа L-1 равно Приведем преобразование Лапласа некоторых функций:

Определение. Преобразование Лапласа обобщенной функции f(t) определяется соотношением

Свойства.

Здесь производные нужно рассматривать как производные обобщенных функций.

Заметим, что

тогда 5) Найдем преобразование Лапласа свертки обобщенных функций f(t) и g(t):

Cледовательно Так както Аналогично можно написать

Приведем преобразование Лапласа часто используемых обобщенных функций:

где Io - функция Бесселя нулевого порядка. 5.Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях Рассмотрим уравнение Если f(t) – обычная функция, то его решением является первообразная, то есть Пусть теперь f(t) – обобщенная функция.

Определение. Обобщенная функция g(t) называется первообразной обобщенной функцией f(t), если (g'(t), (t)) = (f (t), (t)). Если f(t) – сингулярная обобщенная функция, то возможны случаи, когда ее первообразная – регулярная обобщенная функция. Например, первообразная (t) является y(t) = (t); первообразная (t) является функция y(t) = t+, а решение уравнения y''(t) = (t) можно записать в виде t(t) = t+ + C1t + C2 (C1, C2 = const).

Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами (4)

где f(t) – обобщенная функция. Обозначим

дифференциальный полином n-го порядка.

Определение. Обобщенным решением дифференциального уравнения (4) называется обобщенная функция y(t), для которой выполняется соотношение Если f(t) – непрерывная функция, тогда единственным решением уравнения (4.) является классическое решение.

Определение. Фундаментальным решением уравнения (4) называется любая обобщенная функция (t) такая, что Функция Грина – фундаментальное решение, удовлетворяющее данному граничному, начальному или асимптотическому условию.

Теорема. Решение уравнения (4)

Похожие работы