СодержаниеЧастотные характеристики апериодического звена
Методика построения асимптотической ЛАЧХ системы автоматического управления
Список использованной литературы Частотные характеристики апериодического звена Апериодическое (инерционное) звено
Динамические свойства апериодического звена определяются дифференциальным уравнением первой степени:
∙ y′(t) + y(t) = K∙ x(t). (13) Из данного выражения следует, что динамические свойства звена зависят от аргумента Т, называющегося постоянной времени и определяющего длительность переходного процесса от начального значения выходной функции y(t) к установившемуся постоянному ее значению при подаче на вход единичной ступенчатой функции 1(t).
Уравнение (13) может быть также представлено в операторной форме:
∙p∙y + y = y(T∙p + 1) = K∙ x. (14) Из уравнения (14) легко получаем аналитическое выражение для передаточной функции апериодического звена:
(p) = y/x = K/(T∙p + 1). (15) Учитывая, что передаточная функция есть ничто иное, как изображение по Лапласу L[g(t)] весовой функции, найдем оригинал весовой функции, представив передаточную функцию в виде произведения изображений простейших функций, оригиналы которых можно найти из справочных таблиц изображений функций.
[g(t)] = W(p) = K/(T∙p + 1) = (K/T)∙1/(p + 1/T). (16)
В нашем случае изображение некоторой неизвестной функции f(t) равно L[f(t)] = 1/(p + 1/T), которому соответствует оригинал f(t) = ept, где p - есть ничто иное, как решение (корень) характеристического уравнения, получаемого приравниванием выражения в знаменателе изображения L[f(t)] к нулю: p + 1/T = 0, откуда р = - 1/T. Следовательно, выражение для весовой функции будет иметь вид:
(t) = (K/T)∙f(t) = (K/T)∙e-t/T (17) Переходную функцию h(t) можно найти интегрированием правой части выражения (17), которое производим в операторной форме путем умножения изображения весовой функции L[g(t)] на отношение (1/р), представляющее собой передаточную функцию интегрирующего звена со статическим коэффициентом усиления, равным 1:
[h(t)] = L[g(t)]∙ 1/р = (1/р)∙ (K/T)∙1/(p + 1/T). (18) Для отыскания оригинала функции h(t) разложим правую часть выражения (18) на элементарные дроби, используя метод неопределенных коэффициентов. (K/T)/[p∙(p + 1/T)] = A/p + B/(p + 1/T) = [A∙(p + 1/T) + B∙p]/[p∙(p + 1/T)],
откуда/T = A/T + A∙p + B∙p = A/T + p∙(A + B). Приравнивая коэффициенты в левой и правой частях полученного выражения при одинаковых степенях оператора р, получим:
/T = A/T, или А = К;
А + В = 0, откуда В = -А = -К;
следовательно: (K/T)/[p∙(p + 1/T)] = K/p - K/(p + 1/T) = K∙[1/p - 1/(p + 1/T)]. (19) Переходя от изображений (19) к оригиналам простейших функций, получим выражение для переходной функции апериодического звена:
(t) = K∙(1 - e-t/T). (20) Корень характеристического уравнения в изображении (1/р) элементарной функции f(t) равен нулю (р = 0), поэтому ее оригинал равен:
(t) = ept = e0t = e0 = 1. Колебательное звено. Динамические свойства колебательного звена определяются дифференциальным уравнением второй степени и зависят не только от постоянной времени Т, но и от коэффициента кси ξ, называемого коэффициентом демпфирования, характеризующего степень затухания колебаний:
∙y′′(t) + 2ξ∙T∙y′(t) + y(t) = K∙ x(t). (21) Представим уравнение (21) в операторной форме и найдем из него выражение для передаточной функции:
∙p2∙y + 2ξ∙T∙p∙y + y = (T2∙p2 + 2ξ∙T∙p + 1)∙y = K∙ x;(p) = y/x = K/( T2∙p2 + 2ξ∙T∙p + 1). (22) С целью экономии времени в виду
Похожие работы
Интересная статья: Основы написания курсовой работы