(Назад)
(Cкачать работу)Реферат
Математическая модель линейной системы в форме пространства состояний
Достаточно распространенным способом описания линейных устройств является построение модели устройства в пространстве состояний (state space). Эту математическую модель применяют, когда необходимо знать не только, как связаны между собой входной и выходной сигналы линейной системы, но и как изменяются во времени сигналы внутри линейной системы. Кроме того, представление линейной системы в пространстве состояний оказывается полезным в задачах синтеза проектируемого устройства.
Если выбран некоторый вектор состояния , то реакция линейной системы y(t) на входной сигнал x(t) определяется системой уравнений
(1)
В данном случае для описания модели устройства необходимо задать матрицы и .
Если- вектор-столбец размера N×1, а входной x(t) и выходной y(t) сигналы являются скалярными, то размерность параметров в этих формулах будет следующей:- матрица N×N,- вектор-столбец N×1,- вектор-строка 1×N, D - матрица 1×1 (скаляр). Если входной и (или) выходной сигналы являются векторными, размерность параметров соответствующим образом изменяется.
В качестве координат вектора состоянияможно рассматривать сигналы внутри линейного устройства и (или) их производные. Например, для линейной цепи с сосредоточенными параметрами в качестве координат вектораможно выбрать некоторые из напряжений в узлах схемы и токов в ее ветвях. Распространенной практикой при представлении линейных устройств в пространстве состояний является использование в качестве координат векторавзвешенных значений выходного сигнала и его производных для некоторых условий (например, для входного сигнала определенного вида).
Из модели устройства в форме пространства состояний легко перейти к его модели в форме передаточной функции. Если применить преобразование Лапласа к уравнениям состояния (1), а затем выразить из них операторный коэффициент передачи, можно прийти к следующему выражению:
(2)
где- единичная матрица N×N.
Обратное преобразование H(s) в параметры пространства состояний не является однозначным - оно зависит от выбора вектора состояния. Действительно, пусть задано описание некоторой устройства в пространстве состояний в форме (1). Рассмотрим новый вектор состояния , получаемый из исходного вектора линейным преобразованием, то есть путем умножения его на квадратную невырожденную матрицу : , а . Тогда из выражения (1) получим
(3)
Если первое из выражений (3) умножить слева на , то получим уравнения линейного устройства с параметрами для переменных состояния, определенных вектором :
(4)
.(5)
Сопоставив формулы (1) и (5), нетрудно найти выражения, связывающие параметры устройства для векторов состоянийи :
(6)
Таким образом, при смене вектора состояния параметры исоответствующим образом модифицируются.
Пример 1. Пусть линейное устройство описывается дифференциальным уравнением четвертого порядка где y(t) - реакция устройства (например, выходное напряжение или ток) на входное воздействие x(t). Начальные условия - положим нулевыми: y(0) = y'(0) = y» (0) = y'"(0) = 0.
Построим математическую модель устройства в форме переменных состояния.
Дифференциальное уравнение имеет четвертый порядок,
Похожие работы
Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы