Читать контрольная по менеджменту: "Предпосылки метода наименьших квадратов, методы проверки" Страница 1

назад (Назад)скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Содержание Предпосылки метода наименьших квадратов, методы проверки

Задача 1

Задача 2

Список литературы Предпосылки метода наименьших квадратов, методы проверки Для эффективной оценки по методу наименьших квадратов необходимо, чтобы случайный член удовлетворял четырем условиям.

Первое условие Гаусса-Маркова. Математическое ожидание случайного члена равно нулю.

Можно предположить, что условие выполняется автоматически за счет наличия свободного члена a, учитывающего влияние факторов, не включенных в модель.

Второе условие Гаусса-Маркова. Теоретическая дисперсия случайного члена постоянна

.

Так как , то

,

т. е. второе условие Гаусса-Маркова можно представить в виде

.

Если условие не выполняется, то оценка неэффективна и можно получить лучшую оценку с помощью модифицированного метода наименьших квадратов.

Третье условие Гаусса-Маркова. Отдельные значения случайного члена некоррелированы между собой

,

.

Так как , то

,

т. е. третье условие Гаусса-Маркова можно представить в виде

.

Четвертое условие Гаусса-Маркова. Случайный член распределен независимо от объясняющих переменных

.

.

Так как , то

,

,

,

.

То есть четвертое условие Гаусса-Маркова можно представить в виде

.

Так как

,

то коэффициент b будет несмещенной оценкой β, если выполняется четвертое условие Гаусса-Маркова.

Доказательство:

.

Если выполняется четвертое условие Гаусса-Маркова, то , тогда .

Рассмотрим оценку a

,

,

Так как , то

.

Так как, согласно первому условию Гаусса-Маркова, , то

,

тогда, если выполняется четвертое условие Гаусса-Маркова, то , поэтому

,

т. е. a - несмещенная оценка α при выполнении первого и четвертого условий Гаусса-Маркова.

Таким образом, при выполнении условий Гаусса-Маркова коэффициенты регрессии, определенные по методу наименьших квадратов, являются несмещенными оценками истинных значений. Для оценки эффективности коэффициентов регрессии необходимо определить их дисперсии. Теоретические дисперсии рассчитываются по формулам

,

.

Заметим, что, во-первых, теоретические значения дисперсий коэффициентов регрессии пропорциональны дисперсии случайного члена, т. е. чем больше случайность, тем хуже оценки. Во-вторых, чем больше число наблюдений, тем меньше дисперсия, и тем лучше оценки. В-третьих, чем больше дисперсия x, тем меньше дисперсия коэффициентов регрессии, т. к. в этом случае на y в меньшей степени влияют вариации ε.

Однако, на практике значения дисперсии случайного членанеизвестно, поэтому оно оценивается с помощью выборочной дисперсии остатка регрессии . При этомимеет отрицательное смещение

,

следовательно оценка

является несмещенной оценкой дисперсии случайного члена .

Поэтому для оценки теоретических дисперсий коэффициентов регрессии применяются их стандартные ошибки, определяемые по формулам

,

.

Теорема Гаусса-Маркова. Если выполнены условия Гаусса-Маркова, то оценки по методу наименьших квадратов являются наилучшими линейными несмещенными


Интересная статья: Основы написания курсовой работы