Читать реферат по математике: "Элементы теории вероятностей" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

Как подсчитать вероятность суммы совместных событий? Пользуясь последним методом, легко сообразить, что она равна: (2)

Как вычислять вероятность произведения событий? Введем вначале определение независимых событий. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Можно показать, что обратное утверждение верно, если выполняется прямое.

Вероятность произведения двух событий Р (АВ) равна:

, (3)

где Р (В|А) - т. н. условная вероятность реализации события В при условии, что событие А имело место. Здесь как раз и учитывается, что события А и В могут быть зависимыми. Приведенная формула легко доказывается с использованием понятия частот. Пусть мы имеем N возможных исходов, из них событию А благоприятны k случаев, событию В - m случаев. Число перекрывающихся случаев - благоприятных одновременно и событию А и событию В (в приведенных выше терминах это и есть произведение событий АВ) пусть будет n. Тогда:

;

Условная же вероятность будет равна отношению числу n перекрывающихся событий, благоприятных и для А и для В, но теперь уже не к N, а к k случаям, благоприятным для события А, т.е.

.

Подстановка этих соотношений в (3) приводит к тождеству.

Соотношение (3) можно было бы переписать в виде:

Если событие А не зависит от события В, то это записывается так: . Отсюда имеем вероятность произведения независимых событий:

(4)

Это чрезвычайно важная для прикладных задач формула, т.к. часто априорно принимается, что случайные события - измерения - являются независимыми. Если это предположение не выполняется (а на практике часто так бывает), отсюда могут проистекать некорректные, и даже ошибочные оценки измеряемых величин (см. ниже).

Выше речь шла о дискретных случайных величинах. Если случайная величина является непрерывной, т.е. она может принимать любые значения на числовой оси, а не только целые (пример - стрельба по мишени, в этом случае координата точки попадания снаряде есть непрерывная случайная величина), то мы уже не можем ввести частоту появления конкретного значения. Для непрерывной случайной величины можно говорить о вероятности попадания ее в некоторый интервал. Скажем, рассматриваем случайную величину . Мы можем говорить о вероятностипопадания ее в интервал отдо . Т.к.есть функция , то мы всегда можем представить ее в виде: , где функцияимеет смысл плотности распределения вероятности попадания случайной величины в оговоренный выше интервал значений. Далее, для простоты изложения примем, что наша случайная величина изменяется от - ∞ и до +∞. Интеграл

(5)

есть вероятность того,

Похожие работы