Читать курсовая по математике: "Численное дифференцирование" Страница 1

назад (Назад)скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

по дисциплине «Вычислительная математика»

на тему «Численное дифференцирование»

Введение

В современных науке и технике важную роль играет математическое моделирование, заменяющее эксперименты с реальными объектами экспериментами с их математическими моделями. Но для практических задач довольно редко удается найти аналитическое решение уравнений, составляющих математическую модель явления. Поэтому приходится применять численные методы.

Численное решение прикладных задач всегда интересовало математиков. Резкий скачок в развития вычислительной техники положил начало бурному развитию численных методов.

Численные методы представляют собой набор алгоритмов, позволяющих получать приближенное численное решение поставленных математических задач. Как и любой другой численный метод, эти методы позволяют с заданной точностью получить нужные результаты, используя заданные алгоритмы, не прибегая к выполнению аналитических преобразований над входными данными. Одной из подзадач численных методов, является численное дифференцирование. Численное дифференцирование облегчает работу в случае, если выполнение аналитических преобразований достаточно трудоёмко или же исходные данные, то есть функция, подлежащая дифференцированию, представляет собой результаты проведения экспериментов. Кроме того, численное дифференцирование широко используется при разработке численных методов решения многих задач (решение дифференциальных уравнений, поиск решений не линейных уравнений, поиск точек экстремума функции и др.).

1. Обзор методов численного дифференцирования .1 Вычисление производной, используя простейшие формулы Предположим, что функция f дифференцируема в окрестности точки х достаточное количество раз[1]. Исходя из определения производной: можно получить две простейшие приближенные формулы:

где h - малый параметр (шаг).

Эти формулы часто называют правой и левой разностными производными.

Оценка погрешностей данных формулы производится по следующей формуле:

где

где- точка, принадлежащая промежутку ).

Таким образом, формулы левых и правых разностных производных имеют первый порядок точности.

Для вычисления второй производной данным методом применяется следующая формула: Данную величину также называют второй разностной производной.

Для вычисления погрешности, воспользуемся соответствующим разложением по формуле Тейлора: отсюда получаем: Тогда для оценки погрешности можно использовать следующее неравенство: Таким образом вторая разностная производная имеет второй порядок точности.

Приведенные формулы численного дифференцирования имеют простую геометрическую интерпретацию. На рисунке 1.1 a) изображен график функции и отмечены точки N-, N0 и N+, с координатами (x-h, f(x-h)), (x,f(x)) и (x+h,f(x+h)) соответственно.

Рисунок 1.1 - Графики функций Производная f’(x) равна tg() относительно оси Ox в точке N0. Тангенс угла наклона прямых N- N0 и N+ N0, близок к значению производной в точке х. Однако можно заметить, что тангенс прямой N- N+, которая изображена на рисунке 1.1 б), более близок к искомому значению.

Логично предположить, что можно использовать тангенс прямой N- N+ для более точного нахождения


Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы