Контрольная работа
Методы решения дифференциальных уравнений
СодержаниеВведение
1. Теоретическая часть
1.1 Методы Рунге - Кутты
1.2 Аппроксимация МНК
1.3 Метод золотого сечения
1.4 Метод прямоугольников
2. Расчетная часть
Заключение
Список литературы
Введение Дифференциа́льное уравне́ние - уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные. Решить дифференциальное уравнение не просто. Есть большое число способов их решения.
1. Теоретическая часть 1.1 Методы Рунге - КуттыМетоды Рунге-Кутты - важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М.В. Куттой .
Формально, методом Рунге-Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера , они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple , MathCAD , Maxima ) стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, в схему восьмого порядка входит 11 стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков.
Метод Рунге - Кутты 4 порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге - Кутты.
Рассмотрим задачу Коши
Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:
Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:
где h - величина шага сетки по x
Этот метод имеет четвёртый порядок точности, то есть суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок O (h4) (ошибка на каждом шаге порядка O (h5)).
.2 Аппроксимация МНКМетод наименьших квадратов - один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.
Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.
Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений.
Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей ; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма
Похожие работы
Тема: Специальные методы решения алгебраических уравнений. Решения уравнений высших степеней |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Численные методы решения уравнений и систем уравнений |
Предмет/Тип: Другое (Практическое задание) |
Тема: Численные методы решения уравнений |
Предмет/Тип: Математика (Книга / Учебник) |
Тема: Методы решения алгебраических уравнений |
Предмет/Тип: Математика (Курсовая работа (т)) |
Тема: Численные методы решения уравнений |
Предмет/Тип: Математика (Курсовая работа (т)) |
Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы