Читать курсовая по математике: "Задача Діріхле" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

ЗМІСТ

Вступ

. Метод сіток

.1 Постановка задачі

.2 Розв’язання задачі Діріхле для рівняння Лапласа методом сіток у прямокутної області

. Текст програми

Значна кількість задач фізики і техніки приводять до диференціальних рівняння в приватних похідних (рівняння математичної фізики). Усталені процеси різної фізичної природи описуються рівняннями еліптичного типу. Точні розв'язки крайових задач для еліптичних рівнянь вдається отримати лише в окремих випадках. Тому ці завдання вирішують в основному наближено. Одним з найбільш універсальних та ефективних методів, отримали в даний час широке поширення для наближеного рішення рівнянь математичної фізики, є метод кінцевих різниць або метод сіток.

Метод сіток або, інакше, метод кінцевих різниць найбільш поширений для наближеного рішення диференціальних рівнянь в приватних похідних. Основна ідея методу сіток полягає в тому, що диференціальне рівняння, початкові і граничні умови замінюються системою звичайно-різницевих рівнянь алгебри, наближено представляють дану крайову задачу. Розглянемо застосування методу сіток до вирішення задач теплопровідності на прикладі двомірної задачі.

Для лінійних рівнянь в приватних похідних одним з очевидних прийомів є застосування методу сіток. Тоді рівняння в приватних похідних замінюється системою лінійних алгебраїчних рівнянь з числом невідомих, залежних від числа взятих точок. Основною перешкодою тут є недостатній обсяг пам'яті існуючих машин. Для нелінійних рівнянь в приватних похідних застосування методу сіток призводить, як правило, до непереборним труднощам.

Застосування методу сіток дозволяє звести диференціальну крайову задачу до системи нелінійних в загальному випадку алгебраїчних рівнянь щодо невідомих вузлових значень функцій.

Особливості в застосуванні методу сіток до рівнянь в приватних похідних викликані насамперед тим,що для рівнянь різних типів можуть бути коректно поставлені завдання різного виду з початковими чи граничними умовами. Метод сіток тісно пов'язаний з типом диференціального рівняння і для рівнянь різних типів потрібно обирати, взагалі кажучи, сітки різних видів.

Однак при застосуванні методу сіток до розглянутої електростатичної задачі виникають деякі принципові труднощі. З найбільшою повнотою було досліджено застосування методу сіток до рівнянь еліптичного типу.

Це не служить перешкодою до застосування методу сіток для областей з неідеальними кордонами. Однак для обґрунтування потрібні інші, більш тонкі теореми. Зокрема рівномірна метрика, якою ми користуємося у цій главі, стає мало природною.

Методи скінченних різниць, методи сіток - чисельні методи розв'язку інтегро-диференціальних рівнянь алгебри, диференціального, інтегрального числення, основані на заміні диференціальних операторів різницевими операторами, інтегралів - сумами, а функцій неперервного аргументу - функціями дискретного аргументу. Така заміна приводить до системи, взагалі кажучи, нелінійних алгебраїчних рівнянь , які зрештою зводяться до лінійної системи деяким ітераційним методом. Якщо початкова задача має вигляд

,

де- циліндрова область інтеграції- межа області ,- її основа, - шукана вектор-функція і - задані

Похожие работы