(Назад)
(Cкачать работу)Поняття диференційованості функції в даній точці Означення 1. Функція у = f(x) називається диференційованою в точці x0, якщо її приріст Δу в цій точці можна представити у вигляді Δу = A Δx + λ (Δx) Δx,
де А деяке число, що не залежить від Δx, а λ (Δx) - функція аргументу Δx, яка є нескінченно малою при Δx0, тобто.
Теорема 1. Для того, щоб функція у = f(x) була диференційованою в точці x0, необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці скінчену похідну.
Диференціал функції Диференціал функції однієї змінної та його застосування Означення. Диференціалом функції називається величина, яка пропорційна приросту незалежної змінної і відрізняється від приросту функції на нескінченно малу функцію вищого порядку малості в порівнянні з приростом незалежної змінної.
Для нескінченно малого приросту Δх відношеннябуде нескінченно малим при Δх -> 0, тобто
Δy = k Δх+α Δх. (1)
У цьому випадку kΔх називається диференціалом функції, де k - коефіцієнт пропорційності.
Диференціал функції позначають символом dy, нескінченно малий приріст аргументу Δх - dx і називають диференціалом аргументу.
Доданок kΔх у формулі (1) називають головною лінійною частиною приросту функції (або головним лінійним членом приросту). Тому можна говорити: диференціал функції є головною лінійною частиною нескінченно малого приросту цієї функції, якщо k0.
З означення диференціала випливає, що диференціал функції відрізняється від приросту цієї функції на величину вищого порядку малості в порівнянні з приростом незалежної змінної. Цією обставиною часто користуються в наближених обчисленнях.
Теорема. Якщо функція має диференціал, то ця функція має і похідну. З виразу (1) випливає, що
= k + a, а при Δх0 , тобто k = у' - є похідна функції в точці.
Таким чином, диференціал функції дорівнює добутку похідної цієї функції на приріст незалежної змінної, тобто
dy = y'dx.
Диференціал незалежної змінної dx дорівнює приросту цієї незалежної змінної.
Геометричний зміст диференціала функції випливає з геометричного змісту похідної, розглянутого раніше.
Таким чином, диференціал функції у = f(x) в даній точці х дорівнює приросту ординати дотичної до графіка функції в цій точці, коли х одержує приріст Δх.
Фізичним значенням диференціала є фіктивний приріст шляху, який одержиться в припущенні, що, починаючи з деякого моменту часу, точка рухається рівномірно, зберігаючи набуту швидкість.
При умові, що функції, які розглядаються, мають похідні, основні властивості диференціала можуть бути записані у вигляді наступних виразів:
. dC = 0, где С - const;
2. d (Cu) = Cdu;
3. d (u±v} = du ± dv;
4. d (u -v) = udv + vdu;
5. ;
6. df (u) = (u)du.
Диференціювання функції багатьох змінних При вивченні багатьох закономірностей доводиться зустрічатися з функціями від двох (і більше) незалежних змінних. Наприклад, площа S трикутника із стороною х і висотою у є функція двох змінних: S =f(х,у) (S = 1/2ху).
Якщо розглянути прямокутний паралелепіпед з ребрами х,у,z, то його об'єм є функція трьох змінних: V =f (х, у,z) (V = хуz).
Функції багатьох змінних можна виявити в сфері економіки, військової справи та взагалі в природі. Наприклад, процес гідравлічного переміщення, викликаний дощами, таненням снігів або меліорацією,