- 1
- 2
(Назад)
(Cкачать работу)Матрицы и операции над ними
1. Основные понятия
Пусть m и n натуральные числа ( m, n э N), матрицей размера mхn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы обозначаются большими латинскими буквами А, В, …
A2 -1 3
40 22х3Для обозначения элементов матрицы используют малые латинские буквы с двойной индексацией: аij, i-номер строки, j-номер столбца.
Поэтому в общем виде матрица А размера m х n записывается следующим образом:
А= а11 а12…a1n
a21 a22 …a2n
am1 am2…amn
Две матрицы АВ называются равными( А=В), если размеры этих матриц одинаковые и равны элементы, стоящие на одинаковых местах.
Матрицей- строкой называется матрица, состоящая из одной строки.
С= (-12 1 14 0)
Матрицей- столбцом называется матрица состоящая из одного столбца.
М= 2
-1
3
Если число строк матрицы равно числу его столбцов, т.е. m =n , то матрицу называют квадратной матрицей порядка n.
A= a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
an1 an2 … ann
Элементы а11, а 22, аnn образуют в главной матрице главную диагональ. Эти элементы называются диагональными. Другая диагональ в квадратной матрице называется побочной диагональю.
Диагональной матрицей называется матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю.
2 0 0
С= 0 -1 0
0 0 0
Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1. Обозначается Е.
Е= 1 0
0 1-единичная матрица 2-го порядка.
Матрица размера m x n называется нулевой матрицей, если все её элементы равны нулю.
Треугольной называется квадратная матрица, у которой элементы выше\ниже главной диагонали равны нулю.
С= 2 0 1
0 -1 3
0 00
2. Операции над матрицей
1. Сложение и вычитание матрицы
Складывать и вычитать можно лишь матрицы одинакового размера, при этом элементы, стоящие на соответствующих местах складываются или вычитается.
2. Умножение матрицы на число
При умножении числа на матрицу, это число умножается на каждый элемент матрицы.
3. Умножение матриц
При умножении матриц необходимо, чтобы число столбцов первой матрицы было равно числу строк второй матрицы.
Пусть А= а11 а12 … а1n
a21 a22 … a2n- матрица размера m x n, и
am1 am2 … amnВ=b11 b12 … b1k
b21 b22 … b2k-матрица размера n x k
bn1 bn2 b nk
В А – не определяется, если к не равно m
n x k m x n
Произведение матрицы А х В , называется матрица C= c11 c12 …c1k
c21 c22…c2k
cm1 cm2…cmk
размера m x k, где Сij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj
для любого i=1,2,…,m,
для любого j=1,2,…,k
1) A= 2 -1B= -1 3BxA –не определено
3x2 322x20 -22х23х2
01
2)2 -1-1 3-2 8
А х В=32х0 -2=-3 5
3х22х2010 -23х22х(-1)+(-1)х0
2х3+(-1)х(-2)
Этот пример показывает, что умножение матриц не коммутативно, т.е. не всегда АхВ=ВхА
2 -11 02 -1
А х Е=32х0 1=32
3х22х201 012х1+(-1)х0
2х0+(-1)х1
1 0 02 -12 -1
Е хА =0 1 0х32=3 2
3х33х20 0 10 10 1
При умножении любой матрицы Аmxn на подходящую единичную матрицу в результате получается матрица А, т.е. А х Е =Е х А=А
mxnnxnmxm nxn
4. Транспонирование матрицы
Транспонирование матрицы А – это переход к матрице Ат, в которой строки матрицы А становятся столбцами
2 -1 т2 3 6
А т =32=-1 2 1
2х30 1
3. Ступенчатая матрица и ранг матрицы
Элементарными преобразованиями строк матрицы будем
- 1
- 2