сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней; QR = ∑(y^i - y¯)2 (6) – сумма квадратов, обусловленная регрессией; Qе = ∑(yi – y^i)2 (7) – остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов; Q = QR + Qе (8).
Q = 847,714; QR = 795,453; Qе = 52,261.
Q = QR + Qе = 795,453 + 52,261 = 847,714.
R2 = QR / Q = 795,453 / 847,714 = 0,9383.
R2 = 1 – Qe / Q = 1 - 52,261 / 847,714 = 0, 9383.
В нашем примере коэффициент детерминации R2, очень высокий, что показывает на хорошее качество регрессионной модели (4). 2.2 Контрольная задача № 2 2.2.1. Исследуем зависимость урожайности зерновых Y от ряда переменных, характеризующих различные факторы:
Х1 – количество удобрений, расходуемых на гектар (т\га);
Х2 - количество химических средств защиты растений на гектар ( ц\га) .
Исходные данные для 5 районов области приводятся в таблицах:
Таблица 2
I (номеррайона) | yi | хi 1 | хi 2 |
1 | 9,7 | 0,32 | 0,14 |
2 | 8,4 | 0,59 | 0,66 |
3 | 9,3 | 0,3 | 0,31 |
4 | 9,6 | 0,43 | 0,59 |
5 | 9,6 | 0,39 | 0,16 |
2.2.2. Матричная форма записи ЛММР:
Y^ = X* A^ (1), где А^ – вектор-столбец параметров регрессии ;
хi 1 , хi 2 – предопределенные (объясняющие) переменные, n = 2;
Ранг матрицы X = n + 1= 3 < k = 5(2).
Исходные данные представляют в виде матриц.
( 1 0,32 0,14 )(9,7)
( 1 0,59 0,66 )( 8,4
X = ( 1 0,30,31 )Y = (9,3 )
( 1 0,43 0,59 )(9,6)
(1 0,39 0,16 )(9,6)
Значение параметров А^ = (а0, а1, а 2 ) T и 2 – нам неизвестны и их требуется определить ( статистически оценить ) методом наименьших квадратов.
Для нахождения параметров A^ применим формулу (3) задачи № 1
A^ = (XT * X ) –1 * XT * (3),
где (XT * X ) –1 - обратная матрица. 2.2.3. Решение.
а) Найдем транспонированную матрицу ХТ :
( 11111)
XT = ( 0,32 0,59 0,38 0,43 0,39 )
( 0,14 0,66 0,53 0,59 0,13 ).
в) Находим произведение матриц XT *X :
( 52,11 2,05 )
XT * X = ( 2,110,932 0,94 )
( 2,05 0,941,101).
г) Находим произведение матриц XT * Y:
( 46,6 )
XT * Y = ( 19,456 )
( 18,731 ).
д) Вычисляем обратную матрицу ( XT * X) –1 :
( 5,482- 15,244 2,808 )
( XT * X) –1 = ( -15,24450,118 -14,805 )
( 2,808-14,8057 ,977 ).
е) Умножаем обратную матрицу ( XT * X) –1 на произведение
матриц XT * Y и получаем вектор- столбец A^ = (a 0 , a 1, a 2)T :
( 11, 556 )
A^ = (XT * X) –1 * (XT * Y) = ( -5, 08 )
( 0, 0219 )
Уравнение множественной регрессии имеет следующий вид: yi^ = 11,456 - 5,08 * xi1 - 0,0219 * xi2 (4) . 2.2.4. Оценка качества найденных параметров
Для оценки качества найденных параметров а^0 , a^1 .a^2 необходимо найти оценку дисперсии по формуле 1
^2 = ------------ (Y – X * A^)T * (Y – X * A^),
k – n - 1 после чего можно найти среднеквадратические ошибки SL по формуле SL = ^√hii , где hii элементы главной диагонали матрицы (XT * X) –1 .
А. Произведение матриц X * A^:
( 9,833 )
( 8,472 )
Y^ =X * A^ = ( 9,536 )
( 9,283 )
(9,476 ).
Б. Разность матриц ( Y - X * A^ ) :
( -0,132 )
( - 0,072 )
( Y - X * A^ ) =(-0,036 )
( 0,116 )
( 0,0835 ). В. ( Y - X * A^ )T = (-0,132; -0,072; -0,036; 0,116; 0,0835 )
Г. Произведение ( Y - X * A^ )T * ( Y - X * A^ ) = 0,04458 .
С учетом того, что в нашем примере к = 5 и n = 2
11
^2 = ------------ (Y – X * A^)T *(Y – X * A^) =------* 0,04458 = 0,0223.
k – n - 12
^ = 0,0223 = 0,1493 .
Г. Среднеквадратические ошибки оценок параметров будут равны:S 0 = 0,0223 * 5,482 = 0,3496 ;
S 1 = 0,0223 * 50,118 = 1,057 ;
S 2 = 0,0223 * 7,977 = 0,4217 . Среднеквадратические ошибки
Похожие работы
Тема: ЭКОНОМЕТРИКА |
Предмет/Тип: Эконометрика (Контрольная работа) |
Тема: Эконометрика |
Предмет/Тип: Эктеория (Контрольная работа) |
Тема: Эконометрика |
Предмет/Тип: Финансовый менеджмент, финансовая математика (Учебное пособие) |
Тема: Эконометрика 8 |
Предмет/Тип: Математика (Контрольная работа) |
Тема: Эконометрика 6 |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Интересная статья: Основы написания курсовой работы