Читать контрольная по финансовому менеджменту, финансовой математике: "Эконометрика 3"

назад (Назад)скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Институт экономики и предпринимательства

(ИНЭП) Контрольная работа по дисциплине

«Эконометрика»

Вариант 1 Выполнил:

студент группы № Проверил:

преподаватель ИНЭП,

кандидат технических наук

Ю.М. Давыдов г. Лосино-Петровский

2008-2009 уч. год

1. Цель работы Цель контрольной работы – демонстрация полученных теоретических знаний и приобретенных практических навыков по эконометрике – как синтезу экономической теории, экономической статистики и математики, в том числе исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и множественной регрессии (ЛММР), трендовых моделей, методом наименьших квадратов (МНК).

Для проведения расчетов использовалось приложение к ПЭВМ типа EXCEL.

2. Исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и

множественной регрессии (ЛММР) методом наименьших

квадратов (МНК). 2.1 Контрольная задача № 1 2.1.1. Исследуем зависимость производительности труда Y (т/ч) от уровня механизации Х (%).

Исходные данные для 14 однотипных предприятий приводятся в таблице 1:

Таблица 1

xi

32

30

36

40

41

47

56

54

60

55

61

67

69

76

yi

20

24

28

30

31

33

34

37

38

40

41

43

45

48

2.1.2 Матричная форма записи ЛМПР (ЛММР):

Y^ = X* A^ (1), где А^ – вектор-столбец параметров регрессии;

xi1 – предопределенные (объясняющие) переменные, n = 1;

ранг матрицы X = n + 1= 2 < k = 14(2).

Исходные данные представляют в виде матриц.

( 1 32 )(20 )

( 1 30)(24 )

( 1 36)(28 )

( 1 40 )(30 )

(1 41 )(31 )

( 1 47 )(33)

X = (1 56)Y = (34 )

(1 54)(37 )

(1 60 )(38 )

(1 55 )(40 )

( 1 61 )(41 )

( 1 67 )(43)

(1 69 )(45 )

( 1 76 )(48 )Значение параметров А^ = (а0, а1) T и 2 – нам неизвестны и их требуется определить (статистически оценить) методом наименьших квадратов.

Так как матрица Х, по условию, является прямоугольной, а обратную матрицу Х-1 можно рассчитать только для квадратной матрицы, то произведем небольшие преобразования матричного уравнения типаY = X *A, умножив левую и правую части на транспонированную матрицу Х Т.

Получим XT* X * A^ = X T * Y ,

откуда A^ = (XT * X ) –1 *( XT * Y) (3),

где (XT * X ) –1 - обратная матрица.

        Решение.

а) Найдем транспонированную матрицу ХТ :

( 1 1 1 11 1 1 11 11 1 1 1 )

XT = ( 32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76 )

в) Находим произведение матриц XT *X :

( 14724 )

XT * X = ( 72440134) г) Находим произведение матриц XT * Y: ( 492 )

XT * Y = ( 26907 ) д) Вычисляем обратную матрицу ( XT * X) –1 :

( 1,064562 -0,0192 )

( XT * X) –1 = (-0,01920,000371)

е) Умножаем обратную матрицу ( XT * X) –1 на произведение

матриц (XT *Y) и получаем вектор- столбец A^ = (a 0 , a 1)T :

( 7,0361 )

A^ = ( XT * X) –1 * (XT * Y) = ( 0,543501).

Уравнение парной регрессии имеет следующий вид:

уi^ = 7,0361 + 0,543501* xi1(4).

уi^ (60) = 7,0361 + 0,543501*60 = 39, 646. 2.1.3 Оценка качества найденных параметров

Для оценки качества параметров Â применим коэффициент детерминации R2 . Величина R2 показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена объясняющей переменной. Чем ближе R2 к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует экспериментальные данные.

Q = ∑(yi - y¯)2 (5) – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней; QR = ∑(y^i - y¯)2 (6) – сумма квадратов, обусловленная регрессией; Qе = ∑(yi – y^i)2 (7) – остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов; Q = QR + Qе (8).

Q = 847,714; QR = 795,453; Qе = 52,261.

Q = QR + Qе = 795,453 + 52,261 = 847,714.

R2 = QR / Q = 795,453 / 847,714 = 0,9383.

R2 = 1 – Qe / Q = 1 - 52,261 / 847,714 = 0, 9383.

В нашем примере коэффициент детерминации R2, очень высокий, что показывает на хорошее качество регрессионной модели (4). 2.2 Контрольная задача № 2 2.2.1. Исследуем зависимость урожайности зерновых Y от ряда переменных, характеризующих различные факторы:

Х1 – количество удобрений, расходуемых на гектар (т\га);

Х2 - количество химических средств защиты растений на гектар ( ц\га) .

Исходные данные для 5 районов области приводятся в таблицах:

Таблица 2

I (номеррайона)

yi

хi 1

хi 2

1

9,7

0,32

0,14

2

8,4

0,59

0,66

3

9,3

0,3

0,31

4

9,6

0,43

0,59

5

9,6

0,39

0,16

2.2.2. Матричная форма записи ЛММР:

Y^ = X* A^ (1), где А^ – вектор-столбец параметров регрессии ;

хi 1 , хi 2 – предопределенные (объясняющие) переменные, n = 2;

Ранг матрицы X = n + 1= 3 < k = 5(2).

Исходные данные представляют в виде матриц.

( 1 0,32 0,14 )(9,7)

( 1 0,59 0,66 )( 8,4

X = ( 1 0,30,31 )Y = (9,3 )

( 1 0,43 0,59 )(9,6)

(1 0,39 0,16 )(9,6)

Значение параметров А^ = (а0, а1, а 2 ) T и 2 – нам неизвестны и их требуется определить ( статистически оценить ) методом наименьших квадратов.

Для нахождения параметров A^ применим формулу (3) задачи № 1

A^ = (XT * X ) –1 * XT * (3),

где (XT * X ) –1 - обратная матрица. 2.2.3. Решение.

а) Найдем транспонированную матрицу ХТ :

( 11111)

XT = ( 0,32 0,59 0,38 0,43 0,39 )

( 0,14 0,66 0,53 0,59 0,13 ).

в) Находим произведение матриц XT *X :

( 52,11 2,05 )

XT * X = ( 2,110,932 0,94 )

( 2,05 0,941,101).

г) Находим произведение матриц XT * Y:

( 46,6 )

XT * Y = ( 19,456 )

( 18,731 ).

д) Вычисляем обратную матрицу ( XT * X) –1 :

( 5,482- 15,244 2,808 )

( XT * X) –1 = ( -15,24450,118 -14,805 )

( 2,808-14,8057 ,977 ).

е) Умножаем обратную матрицу ( XT * X) –1 на произведение

матриц XT * Y и получаем вектор- столбец A^ = (a 0 , a 1, a 2)T :

( 11, 556 )

A^ = (XT * X) –1 * (XT * Y) = ( -5, 08 )

( 0, 0219 )

Уравнение множественной регрессии имеет следующий вид: yi^ = 11,456 - 5,08 * xi1 - 0,0219 * xi2 (4) . 2.2.4. Оценка качества найденных параметров

Для оценки качества найденных параметров а^0 , a^1 .a^2 необходимо найти оценку дисперсии по формуле 1

^2 = ------------ (Y – X * A^)T * (Y – X * A^),

k – n - 1 после чего можно найти среднеквадратические ошибки SL по формуле SL = ^√hii , где hii элементы главной диагонали матрицы (XT * X) –1 .

А. Произведение матриц X * A^:

( 9,833 )

( 8,472 )

Y^ =X * A^ = ( 9,536 )

( 9,283 )

(9,476 ).

Б. Разность матриц ( Y - X * A^ ) :

( -0,132 )

( - 0,072 )

( Y - X * A^ ) =(-0,036 )

( 0,116 )

( 0,0835 ). В. ( Y - X * A^ )T = (-0,132; -0,072; -0,036; 0,116; 0,0835 )

Г. Произведение ( Y - X * A^ )T * ( Y - X * A^ ) = 0,04458 .

С учетом того, что в нашем примере к = 5 и n = 2

11

^2 = ------------ (Y – X * A^)T *(Y – X * A^) =------* 0,04458 = 0,0223.

k – n - 12

^ =  0,0223 = 0,1493 .

Г. Среднеквадратические ошибки оценок параметров будут равны:S 0 = 0,0223 *  5,482 = 0,3496 ;

S 1 = 0,0223 *  50,118 = 1,057 ;

S 2 = 0,0223 *  7,977 = 0,4217 . Среднеквадратические ошибки имеют различное значения, иногда превышающие оценки параметров, что связано с малым количеством статистических данных.

3. Контрольная задача № 3 Оценки параметров трендовой модели. 3.1. По данным о розничном товарообороте региона нужно

произвести анализ основной тенденции развития товарооборота. Таблица 3

Год

Объем розничноготоварооборота,млрд. руб.

Темп ростапо годам, %

Абсолютныйприрост погодам, млрд.руб.

1

2

3

4

1

18,4

-

-

2

18,9

103,5

0,5

3

19,8

105,3

0,9

4

20,3

102,6

0,5

5

21,1

104,4

0,8

В среднем

19,7

103,9

0,67

3.2. Решение задачи будем производить методом множественной регрессии с оценкой параметров а0, а1, а2, а3 , так как: во-первых, абсолютный прирост неравномерен по годам; во-вторых, темпы роста также неравны между собой, то есть необходимо оценивать параметры а2 и а3 .

Матрица Х размерами 5×4 и вектор-столбец Y размерами 5×1, будут иметь следующий вид:

( 1 1 1 1 )(1,84E+10 )

( 1 2 4 8 )( 1,89E+10 )

X = ( 1 3 927)Y =( 1, 98E+10)

( 1 4 16 64)(2, 03E+10)

( 1 5 25 125)( 2,11E+10 )

Решение задачи с помощью п риложения EXCEL позволило получить следующие оценки параметров Â и соответственно аппроксимируемые значения Y^:

(а0 )( 1,79E+10 )(1, 838E+10 )

(а1 )( 3,976E+08 )( 1,899E+10 )

 = (а2 ) = ( 8,929E+07 )Y^ = ( 1, 967E+10 )

(а3 )(- 8,333E+06)( 2, 039E+10)

( 2, 108E+10).

Отрицательное значение параметра а3 = - 8,333Е+06 говорит о том, что ускорение (темп


  • 1
  • 2

  • Похожие работы

     
    Тема: ЭКОНОМЕТРИКА
    Предмет/Тип: Эконометрика (Контрольная работа)
     
    Тема: Эконометрика 6
    Предмет/Тип: Математика (Реферат)
     
    Тема: Эконометрика 10
    Предмет/Тип: Эктеория (Реферат)
     
    Тема: Эконометрика 2
    Предмет/Тип: Финансовый менеджмент, финансовая математика (Контрольная работа)
     
    Тема: Эконометрика 7
    Предмет/Тип: Математика (Реферат)