(Назад)
(Cкачать работу)Практично єдиним підходом до дослідження складних систем для випадку, коли невідома, або надто складна їх структура та модель їхньої динаміки полягає в аналізі часових рядів деяких вихідних характеристик системи, на підставі чого намагаються зробити висновки щодо стану, структури та еволюції системи. Традиційним статистичним підходом в аналізі часових рядів є подання їх за допомогою лінійних моделей у вигляді, що використовується в прикладній статистиці.
Причини популярності цих моделей криються, з одного боку, в їх простоті і, з іншого боку, в тому, що вже з невеликим числом параметрів ними можна добре апроксимувати вельми широкий клас стаціонарних послідовностей.
Одним із найбільш перспективних напрямків досліджень є побудова моделей з „довгою пам’яттю”. Такі ряди характеризуються функцією автокореляції, що повільно спадає зі зростанням часового ряду. Наявність пам’яті дозволяє прогнозувати майбутні значення ряду. На протязі багатьох років дослідниками активно використовувались моделі Бокса-Дженкінса.(процеси з „короткою пам’яттю”), в яких передбачається експоненційний темп спадання коефіцієнтів у функції релаксації на зовнішні імпульси. Базовим видом цих моделей є моделі рухомого середнього (moving average, MA), та авторегресійний процес (autoregressive process, AR) при якому наступне значення y є лінійною комбінацією попередніх значень.
Поєднання двох типів моделей утворює модель авто регресійного рухомого середнього (ARMA (p, q)), яка є лінійною комбінацією осциляцій AR-моделі з керованим кореляціями та шумом MA-моделі. Всі ARMA- моделі є слабко стаціонарними і тому для застосування їх до нестаціонарних даних необхідні перетворення, що зроблять їх стаціонарними. Найбільш загальним перетворенням є диференціювання, тобто знаходження перших різниць. На основі диференційованих відповідну кількість разів даних будується авторегресійна інтегрована модель рухомого середнього (autoregressive integrated moving average), ARIMA [5, с.141].
Модель ARCH (autoregressive conditional heteroskedasticity) була запропонована Робертом Енглом (Engle, Robert) [18] для аналізу економічних часових рядів зі змінною дисперсією, за яку він одержав Нобелівську премію з економіки за 2003 рік (разом з Клайвом Гренджером).
Загальне припущення цієї моделі полягає в тому, що математичне сподівання (Е) випадкових збурень (інновацій) () дорівнює нулю.
Сутність моделі ARCH полягає у тому, що якщо абсолютна величина велика, то це призводить до збільшення умовної дисперсії у наступні періоди. В свою чергу, при значній умовній дисперсії поява великих (за абсолютною величиною) значеньстає більш ймовірною. Навпаки, якщо значенняпротягом декількох періодів близькі до нуля, то це призводить до зниження умовної дисперсії у наступні періоди практично до рівня k. У свою чергу, при низькому рівні умовної дисперсії більш ймовірна поява малих (за абсолютною величиною) значень .
Таким чином, ARCH-процес характеризується інерційністю умовної дисперсії (кластеризацією волатильності).
Узагальнення цієї моделімодель GARCH (generalized ARCH), яке було здійснене Т. Болерслевим [18], дозволяє отримати більш довгі кластери при невеликій кількості параметрів. Обидві моделі та їх модифікації виходять з припущення про короткострокову пам’ять в досліджуваних процесах, а також про ринкову ефективність.
Модель ARMA часто